dx、dy
■dy/dxのｄｙとｄｘを分けていいのですか？
■ｄｙ／ｄｘは分数ではないと思うのですが・・
■【微積分】dxやdyの意味
■【微積分】dxやdyの意味２（今井入室禁止）
■ｄｘやｄｙって何？
■ｄｘやｄｙって何？−（２）
■ｄｘやｄｙって何？−（３）
■dy/dxのｄｙとｄｘを分けていいのですか？
1 名前： 関孝和 投稿日： 02/04/30 18:18
高校や大学で微分を習う時、微分係数をｄｙ／ｄｘと書く事を
習います。ところが、微分方程式を習う辺りで、このｄｙ／ｄｘ
を分数の様に扱い、ｄｙ、ｄｘを別々に扱う場面が出て来て
当惑させられます。
不思議な事に、どの数学書を読んでも、こう言う事をして
いい理由が明快に述べられていません。又、ｄｙやｄｘの
きちんとした定義も書かれて有りません。
どなたか、ｄｙやｄｘの厳密な定義と、そこから導かれる
ｄｘやｄｙの持つ性質について説明して下さいませんか？
14 名前： (･∀･) ｱﾇｽ! 投稿日： 02/04/30 20:54
実は漏れもわかってないんだけど氏んだほうがいい？
17 名前： Nanashi_et_al. 投稿日： 02/05/01 00:58
高木に書いてある。
18 名前： Nanashi_et_al. 投稿日： 02/05/01 01:54
dxとdyが分けられると思っていたら、
今度はd/dxという演算子がある、などと言われてしまう。
そのあたりで、１は混乱したのではないかと。
22 名前： 18 投稿日： 02/05/01 02:44
>>19
今、改めて>>1をもう一度読んでみた。
そして、「高木を読め」と思った。
すまん。さらばじゃ。
■ｄｙ／ｄｘは分数ではないと思うのですが・・
1 名前： 関孝和 投稿日： 02/04/30 18:23
微分係数をｄｙ／ｄｘと書きますが、これは分数では
ありませんよね？それなのに、何故、ｄｙとｄｘを分離して
まるで掛け算や割り算の様な事をしていいのか、今だに
わかりません。微分方程式の勉強では避けて通れない所
ですが、どの教科書もこの事を明確に説明していません。
誰か、ｄｙやｄｘの厳密な定義と、そこから導かれる
定理を示して、ｄｙやｄｘの性質を説明してくれませんか？
10 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/04/30 18:45
単位をつけたまま計算すると、かけるべき数で割って
しまったり、またその逆の失敗をしたるすることを
防ぐことにつながるので、よくすすめられています。
よく速さをｋｍ／ｈ、ｍ／ｓと書きますが、単位は分数では
ありませんよね？それなのに、何故、ｍとｓを分離して
まるで掛け算や割り算の様な事をしていいのか、今だに
わかりません。ＳＩなどを勉強するときに避けて通れない
ですが、どの教科書もこの事を明確に説明していません。
23 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/04/30 23:42
>>1 どの教科書もこの事を明確に説明していません。
おいおい、
「多変数解析学」スピヴァック著 東京図書
にdの定義が書いてあるだろう。図書館に行って借りてきな。
微分方程式やるならついでに
「微分形式の理論」H.フランダース著 岩波書店
も借りたらいいだろう。
大体、
Dxとdyの解析学―オイラーに学ぶ 高瀬 正仁 (著) 日本評論社
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535783039/qid%3D1020177489/250-8122836-7811413
という本が出ているではないか。
アマゾンのレビューを読む限り、貴方が知りたい内容が満載だと思うが
そもそも、本探すぐらいのことはしたのか？
■【微積分】dxやdyの意味
1 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 15:44
高校生です。
「dy/dxは分数じゃない。一つの記号だー」
とのたまわった先生が、微分方程式の授業で
f(x)dx＝g(y)dyなどと意味不明の式を書きおった。
師曰く「こういうもんなんだー大学行って調べろ」
大学まで待てません。dxやdyって何なのでしょうか。
3 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 15:58
Y=f(X)に対して、
dY:=f'(X) ΔX ...(*)
と定義します。X=f(X)に対して、f'(X)=1であるので、(*)を
用いて、
dX=ΔX
となるので、これを(*) に代入すると、
dY = f'(X) dX
という式が得られます。両辺をdXで割ったものが良く知っている式です。
名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:02
＞３
まずデルタを説明しなきゃだろ。
あまりにも乱暴すぎる。
6 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:10
>>1
微積分のもっとも根本的な疑問です。むずかしい。高校の先生のみならず、
みな正面から答えずに避けて通っているように思います。
7 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:18
>>6
禿同。「計算出来れば問題ない」、「分からなくてもいいから、とにかく
公式通りにやれ」等と言われて、数学がイヤになった生徒は、ものすごく
多いはず。
10 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:29
結局，dyやdxは微小な数のイメージで，dy/dxもイメージは結局割り算
なんじゃねーの？
12 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:34
>>10
微分形式に割り算などないのだからそりゃないよ…（ｗ
13 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:39
>>12
微分形式じゃなくイメージ。つまり，dyやdxを本当に小さい”数”と
イメージしてるからじゃないの？ってこと。
それから，微分形式やったって，>>1さんのような引っかかりがとれる
訳じゃないと思うけど。
14 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:39
物理では平気でΔ→ｄの置き換えや割り算をやらかしますが
数学者が其れを禁じても物理は発展していきます。なぜでしょう？
15 名前： １３ 投稿日： 01/12/13 16:43
微分形式なんて，向きのついた体積が交代的な性質を持つという知識と
結局はdxやdyは微小な数のイメージなんだということ，そして，高次の微小
という考え方を理解して始めてわかったような気がしたけど。
16 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:46
誤差のオーダーとかに関する
正しい感覚があれば間違わずにやれるだろう。
数学者だって19世紀終わるころまでは
全部それでやって，
いっぱい重要な結果を
導いてるんだよ。
17 名前： 13 投稿日： 01/12/13 16:47
だから，結局はdxやdyは微小な数のイメージで，後は様々な定理がそういう
イメージを持つ事を許しているって感じかな。
いずれにしろ，俺は数学の素人なんで，聞き流してちょ。
20 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:49
微分形式が根本だなんて思い込む必要はない。
あれは，交代テンソル的な性質が基本にある場面で
便利なだけだ。
微分形式だったらd^2y なんていつでも0になって
意味もたんだろ。
22 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 16:51
>>10
y=f(x)ならdy=(df/dx)dxなので、df/dx=dy/dxと形式的にかけるけど、
z=f(x,y)ならdz=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dyなのでそうはいかない。
23 名前： 投稿日： 01/12/13 16:52
ここでいっぱいいけんがでるくらい
いいかげんなことなので１はそういうものだとおぼえておけばいいです。
25 名前： 13 投稿日： 01/12/13 16:57
>>22
＞z=f(x,y)ならdz=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dyなのでそうはいかない。
そのdz,dx,dyも微小な数というイメージでいいんでない？
そうはいかないって何に対して？
なんか，あんまり本質的な議論にならない気がするけど。
あ，dy/dxが分数ってイメージの事？
それは，∂f/∂xのような表記には通用しないって事？
それは通用しないね。確かに。
>>23
そういうこと
28 名前： 13 投稿日： 01/12/13 17:02
>>20
＞微分形式が根本だなんて思い込む必要はない。
わしは微分形式やった頃，そう思い込もうとして苦悩したんだよなあ。
結局行きついたのは，
＞あれは，交代テンソル的な性質が基本にある場面で
＞便利なだけだ。
ということだ。
29 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 17:03
多変数の場合dx,dy,dzを微小な数のイメージで、dz/dxを考えても無意味だってこと。
意味があるのは1変数の場合のみ。なぜなら1次元の線形空間だから。
31 名前： 13 投稿日： 01/12/13 17:05
>>27
＞イメージとイメージではないの区切りはどこに・・・？
あ，ごめん。おれ数学の素人だから。接空間ということでイメージが
もてるくらいべんきょーしてないってことだ。
ごめん。許して。
ちょっと，断定しすぎた。ごめん
39 名前： math夫さん 投稿日： 01/12/13 17:55
「dxの意味」についてはやはり厳密な議論は初等的には出来ませんので、
これは諦めますが、多分参考になるであろう事を若干書きます。
一般に（微分可能な）関数f(x)に対して、dfと書かれる「f の微分」とい
う概念があります。この概念が導関数（あるいは微分商と呼ばれる）df/dx
に比べて、捉え難い理由は、導関数は関数なのであるのに対して「微分」
は関数でも数でもないという点です。言わばそれらとは関係があるが全く
別の概念なのです。勿論、直観的には「微小変化」という事で捉えられる
し、それはそれで有用な解釈なのですが、数学的に厳密に捉えるのは初等
的には容易ではありません。歴史的に見ても、上で言う微分の概念は
ニュートンの師バーロウが既に持っていたものですが、数学的な基礎付け
はずっと後の話しです。ですから、ここではこの「微分」の定義をするよ
り、何故その様なものを考えるのか、導関数だけではいけないのは何故か、
という点と、微分と導関数の関係について説明します。まず、微分を考え
る理由は
「導関数」という概念は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない
という事です。つまり、導関数を求めている時、即ち関数 fの「微分をす
る」という時、我々は必ず何らかの座標、例えば xについての導関数を求
めている訳です。違う座標をとれば導関数は異なります（鎖法則ですね）。
ですから、解析力学や微分幾何学等で「座標の取り方に依らない」より明
解な議論をしようとする時に、導関数よりも微分の概念の方が重要となり、
そのため微分形式等の理論装置が出来て来た訳です。
ではこの微分という物と導関数の関係はどうなっているのでしょうか。ま
ず、「微分」というものそのものは依然得体の知れないものだが「微分」
には関数が掛けられる、つまり、微分×関数はまた微分になるという事を
認めて下さい。さらに座標関数（例えば、 xという関数）を考えて下さい。
これの「微分」dxはちょっと特別な性質を持ってます。それは「任意の関
数の微分はdxに何らかの関数を掛けた形に一意的に書ける」という事、つ
まり、微分可能などんな関数 fを持って来ても df = h dxとなる様な別の
関数 hが必ず見つかり、しかも唯一見つかるという事です。実はこの hと
いうのが「座標 xに関する fの導関数」なのです。これから導関数を微分
商の形に書いた優雅な式 df=(df/dx)dx が得られる訳ですが、これは二つ
の微分を割って得られたという物ではなく、上の様な手続きで得られた式
なのだという方が若干厳密です。
42 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 18:06
39の説明でだいたいあってると思うけど
1にはワカランだろうな
43 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 18:30
高木貞治の解析概論にも似たようなの書いてあるよね
44 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 19:33
今日のような「関数」の概念の萌芽が出たのはオイラーからと言われているが、
微分の概念は微積分のはじまりとともに出ている。だから、３９のように、関数概念を前提にして
微分の概念を考察するのは本末転倒なのではないだろうか。
48 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 21:55
数年前アメリカで議論が盛り上がったネタだね。
51 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/13 23:00
>>3
dy＝f'(x)凾と定義して、ｘはそれ自身をｘの関数と見て
dx＝凾ゆえにdy=f'(x)dxってのは折れも解析概論で読んだ。
何べん読んでもわからんかった。説明が悪いのか折れの頭が悪いのか。
ｘ→ｘにおけるdxとｘ→ｙにおけるdxをごっちゃにしていいわけ？
55 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 00:24
>>51
俺もそう思った…。有名な本だから、俺だけ頭悪いのかと思ってしょうが
ないので無理矢理納得してたが…、こころの隅にはもやもやとしたものが…。
61 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 08:04
オイラーはdx,dyをすげー適当に扱ってたような気がする。とりあえず、そーやってできたものだけ先に見て、後から厳密性を考えた方が楽しいと思われ
62 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 08:29
>>61
そうやって面白いことをビシビシ見つけられたってのが
オイラーの偉大さだよね。
71 名前： １３２人目の素数 投稿日： 01/12/14 16:59
x がチョビット動くと、y もチョビット動く。
dy = 2 dx とあれば、x がチョビット動いたら、
その二倍だけ y がチョビット動く。
この倍率 2 のところが、x の関数 f(x) になったものを想像しよう。
72 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 17:36
>>71
俺も結局そう理解しているんだけど。
実はいまいち分かっていない部分も多い。
じゃなんでΔｘとかΔｙとかでは駄目なの？
dz=∂z/∂x・dx+∂z/∂y・dy
ってのも直感でまぁ分かるけど，正確には
どんな意味があるんだろうね〜
79 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 19:44
dxとは何か、と単刀直入に問われたなら、
やはり「無限小量」と答えるのが正解でしょうね。
それなら、ここに出ているxと何か、と問われたら、
「変化量」と答えるのが正解と思います。
無限小量dxは変化量xの無限小変分で、これを「xの微分」
と呼ぶのではないでしょうか。
dy／dxは、「微分と微分の比」でしょうね。
80 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 19:52
>>79
つまり dx の本質は、やはり超準解析から来ているって事です
か？（だれかさんは「落ちこぼれの数学者」とか言っているけど）
86 名前： 多義的なんだよね 投稿日： 01/12/14 21:12
ガイシュツだろうが
俺が知る限りでまとめると
１ 微小量
２ 微分形式
３ 微分写像
４ 演算子（外微分作用素）
93 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 22:21
超準解析というのはあくまでもあとからくっつけた理屈というか、
諒解様式の提案であって、微分は微分なのではないだろうか。
微分dxというものが発見されて、それにはいろいろな属性が附随している。
発見者のあとに続く多くの数学者が、それらのひとつひとつを
抽出して数学的概念を作っていったのでしょう。
95 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 22:49
ｄｙ/ｄx=ｙ の解が y=Ae^x ・・・・なんで？ サパーリわからん。
真性ドキュソの俺に解説きぼーん。
96 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 23:16
1/y・dy/dx=1
>95
xについて両辺積分して
log(y)=x+C (Cは積分定数）
y=e^(x+C)
∴y=Ae^x （A=e^c)
99 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/14 23:44
>>96
なぜ堂々と
dy/y=dx を積分して
と書かんのか。
ここではそれがテーマじゃないのか。
100 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 00:29
99さんに全面的に同意します。オイラーはそうしています。それができなくなって、
96さんのようにしないと落ち着きが悪いような感じがするようになった。
そこのところに、何かわけがあるのでしょうね。
107 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 01:08
納得いかん！ 結局 dx って何なんだ？曖昧な物を高校数学に導入して
いるのか？
108 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 01:33
>>107
dx自体に直観的意味を求める必要はないんじゃないか？
110 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 01:40
ライプニッツの記法だとたしかに何かありそうにみえるよね。
実際、うまく微分そのものを定義できる流儀もあるんだろうし。
でも、もしニュートン流の記法が席巻してたとしたら、そういうことも無かったんだろうね。
123 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 17:44
オイラーの本が今でも価値があるのは、まさに未知の対象を研究するときの
方法を示唆しているからである。
125 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 18:32
ここは、物理系の人が多いようだが・・・。
物理系では、dxの詳しい意味は、全く必要ないでしょう。
とにかく、無限小という考えが実際あるわけで、
それを厳密に定義し始めると、集合論から超準解析へと進んでいく。
そこまで行かないうちにいろいろ考えても、
直感的にdxの意味を理解できるとは思えないし、
おそらく、無限に小さい数というぐらいのイメージしかできないと思う。
128 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/15 19:12
>>125
数学って「厳密」さが大切だと思っているのに、いきなりdxと
かの説明では怪しい説明が連発されるんだよね。高校みたいに、
怪しさ大爆発ならまだしも、大学初級で「連続性がどうのこうの」
とか結構厳密（と思えるｗ）にやっていたのに、いきなり怪しい
説明が出てくるのだから…。
せめて、「この部分は厳密ではないが、超準解析によって説明
できる」とかなんとか…どっかに書いて欲しい…。
204 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 03:07
１さんの最初の疑問にもどると、dxゃdyそのものの意味は大学に
行ってもわからない。大学院に行ってもわからない。だれにきいても
教えてくれない。
定義めいたことを教えてくれる人もいるが、釈然とはしないと思う。
しつこく追求するといやがられたりする。結局、「dxとは何か」という質問は
数学界のタブーになっていますね。
205 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 06:22
>>204
それは君が分からなかっただけ。
無責任なことを言うのはやめましょう。
209 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 08:39
dxそれ自体を定義することはできないと思うけど、「数学の世界における何か」
が発見されて、計算規則も発見された。
aが定量のときはda＝０
d(x+y)=dx+dy
d(xy)=xdy+ydx
などなど。これで計算すると、複雑な曲線に接線を引いたり、曲線の極大点や極小点が
求められたり、曲がり具合がわかったりした。つまり、たしかに「何か」が発見された
わけだ。それに「xの微分」という名前をつけた。
微分dxの性質をいろいろな角度から観察して、
概念を抽出していったのではないでしょうか。そんなことができたのは、
dxが数学的な何か、つまり数学的実在だったから。
これは神秘主義的な解釈ですね。でも、こういうのが、生きた数学の本当の姿なのではないかと思います。
211 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 10:13
＞でも、こういうのが、生きた数学の本当の姿なのではないかと思います。
これには同感出来ます。暗闇の中で手探りで数学者が見つけていった。これは生きた数学の本当の姿だと私も思います。これに我々は確かな数学的根拠を与えねばなりません。そうしないと如何に有用であったとしても日陰の数学でしかありません。
214 名前： きつねっ娘好き 投稿日： 01/12/16 12:36
う〜ん、まあネット上では「いまい」みたいな所謂トンデモが出て来るのはしょうがないことなんだと
思う。それがネットの良い点でもあるし、悪い点でもあるわけ。ネットで質問するのは決して悪いこと
ではないけど、まともな答えかどうか判断出来るだけのものが自分にないと、却って困ったことになる。
啓蒙書や中高校生向けの本ばかりじゃなくて、もうちょっと難しい本に挑戦してみるのが良いと思う。
その方が逆に良く理解出来て、自分に自信が付いたりする可能性もある。啓蒙書レベルで立ち止まって
諦めてももったいないし、そこで「いや、数学の方が変なんだ」なんて自分を誤魔化してそれこそ
「いまい」みたいになっても困るでしょ(笑)？
わからない部分を置いておいて無理矢理先に進むと自然に分かって来る、という場合もあるけど、
dxやdyに疑問を持つというのはある意味センスが良いわけだから、ここでじっくりと本を読んでみると
いうのは、短期的には足踏みのように見えても長期的にはためになると思う(じっくり、ね。1日2日で
諦めないように)。
私の場合は高校の時、どうにも良くわからなかったので本屋で「モノグラフ」シリーズを読んでいたら、
「ちゃんと理解したい読者は、相当な覚悟を持って、例えば次の本を読むと良い」とかいって岩波全書
の微分積分学が紹介されていたので、早速買って数学の授業中に隠れて読んでいた(^_^;)。おかげで
一時的にテストの点が悪くなったけど、大学に入って躓くこともなかったし、超準解析の意味も良くわ
かった。
自分でとことん本を読むような時期も必要だと思う(大学に入るまで待てないのなら、自分で勉強
すれば良い)。もし本を選ぶなら、実数論からちゃんと解説してあるやつにすること。実数から
ちゃんとやらないと結局いつまでも分からない。超準解析だって、ちゃんとやろうとすると超実数が
必要になるわけで、実数を知らないとかなり辛い。ここでもよく「いまい」の実数が話題になるのは、
所詮そこがちゃんと出来てないから微分積分も駄目だということを言っている。
少なくとも、掲示板で数行で説明出来るものではないのは確かなので、本当に分かりたい人はじっくりと
勉強することをお勧めする。
そうそう、さっき書いた私が高校の時の話だけど、実はすぐに先生に隠れて読んでいる本が
見付かってしまったんだ。でも先生は授業中なのに2,3分その本を読んだ後、「うん、良い本だ」と
言って返してくれて、以後お咎め無し。そういう先生との出会いも必要かもしれない。
216 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 13:35
1さんの疑問にもどるけど、
f(x)dx＝g(y)dyは分からなくても∫f(x)dx＝∫g(y)dy なら分かるわけでしょう。
また、f(x)凅＝g(y)凉もしくはf(x)凅≒g(y)凉の意味も分かる。
こういうことから、f(x)dx＝g(y)dyの意味をイメージしていってはどうでしょう？
217 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 14:08
dx,dy「そのもの」の意味というか定義というのは確かに中々習わない.
そのために用途や形式を限定して,その中では確かに間違っていないよう
にしてはじめはdx,dyを使う,
他の例で言えば、「接線」は習うけど「接する」は習わなかったり.
大学初年級でもdx,dyをdy/dxというセットの形でなく、個別に間違って
いないように使うのは積分するときだけだったと思う.
でもそこでもdxはシンボルとして扱われず,むしろシグナルとして扱わ
れているようにも見える.
微分方程式なんかは特にdx,dyを形式的に扱っていて,最後に答えが
あえば良いという感じになっている（勿論それは解の一意性や存在を
きちんと保証することによってそういう検算が成り立つわけだが）.
でも、確かに昔の人はdx,dyを無限小量として扱っていて,そしてそれ
はε-δ論法の登場により一時は抹殺されたかのように思われた.
しかし,超準解析の登場により無限小解析はまた復活し,直観がきく
見通しのよい解析がまた復活したわけだといえる?
225 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 17:13
本当に勉強になります。大学時代に感じたもやもやとしたものが、晴れて
いく感じ…ですかね。
でも今更思うのですが、参考書とかにこのことの記述がちょっとでもあれ
ばこのような事に悩まなかったと思うんですよね。多分当時の大学教授にこ
れを聞いても満足な解答は得られなかったでしょうから…。
226 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 17:20
だからdxやdyは微分形式としてちゃんと定義出来るって言ってるだろ
227 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 17:34
dx,dyが定義ができないとかいいかげんとかいう人は
微分幾何の教科書よめばわかるという意見に対しどう答えるんだろう？
その手の教科書よんだことあるんだろうか？
229 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 17:59
>>227
「定義できない派」は定義とか規則とかにあやふやな部分がある
と思っているんじゃないのかな？
君がそう思うのなら、きちんとそれを提示すれば良いのでは？
231 名前： 217 投稿日： 01/12/16 18:05
>>226
勿論定義出来ないとは言ってない.
俺が言いたかったのは,微分幾何以前の教科書でもはっきり定義して
いないからといって間違った議論や不完全な議論をしているわけでは
なく,その用途を限定することによって（むしろ、その用途を先に定めることに
よって）上手くそういう問題は回避されているということ.例えば,
○○を使うのに「○○は□□だ」と定義する方法もあるが,
「○○は以下の形式を満たす」とし、むしろそれ自身を定義とする
流儀もあるわけで,そういう意味で,○○そのものの意味を回避しても
ちゃんと数学は運営できて,間違っているわけではない.
開集合系の定義なんてその典型.
だから,そのものズバリを定義していないからといって今井のように
それを否定するのは短絡的だし,dx,dyの意味を考えるということは
重要なことだが,それが分からなかったからといって正確にそれを
扱うことが出来ないというわけでもない.
言葉足らずスマソ......
232 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 18:05
微分幾何では接空間の双対空間の基底だよね。
あまりに迂遠すぎるよ。
「いざというときには」くらいのものかな
241 名前： 数学の迷い道 投稿日： 01/12/16 19:52
y=f(x)でfが局所的に微分可能な関数のとき、dy=f'(x)dxと書きます。
これが微分形式の定義なので終了といいたいところだが、ちょっとまて。
それでは牛丼を頼んで玉葱だけを食べるようなものだ。素人にはお勧めできない。
まあ聞け。>>1よ。
y=f(x)という式は、fの性質次第ではg(y)=xという形に解き直すことができるだろう。
それで善良な市民にx=g(y)という式を見せたとして、それでdx=g'(y)dy
という微分形式を書いたとして、はたしてこれらdy=f'(x)dx、g'(y)dy=dx
という2つの式はお互いに矛盾しないのだろうか？もしも矛盾することがあるのなら
dxだのdyだの独立に書いても意味がない。だから、まずその安全性を確かめる必要がある。
(ちなみにこういう安全性のことをwell-definednessといって、数学に限らず理論的な
議論では、記号を定義するときにはこのチェックが欠かせない。)
大学で習う解析学を使えば、結論としてはg'(f(x))=1/f'(x)になることがわかる。
その事実に基づいてはじめてdx、dyという記号はwell-definedであることがチェックできる。
これは実はかなり基本的な事実なのだが、しかし悲しいことに高校の学習課程にはこのことの
証明をする余裕すらないのだ。だから高校生諸君はdy/dx=f'(x)とでも書いておくことが
勧められているわけだ。わかったかな？
242 名前： 数学の迷い道 ◆1CLsT/Kk 投稿日： 01/12/16 20:03
ちなみにみんなのアイドル、今井のじいさんがほとんど至る所でたたかれているのは、
このwell-definednessという概念を理解していないからなんだ。
253 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/16 21:18
ｄｘの定義にwell-definedを持ち出す馬鹿はどこの誰？？？
275 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 00:47
超準解析が良くわかりません。ε-δを使わずに、かつ今井と違って厳密に理論を
作ってるんですよね？
278 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 01:14
微積分は大学にその解決を求めても駄目なんだよなぁ。
283 名前： きつねっ娘好き 投稿日： 01/12/17 02:13
275>>
簡単に言うと、普通の実数に無限大・無限小に相当する数を加えた体系(超実数)上で
微分積分を構築するもの。極限論(ε−δ法等)を使わずに古き良き日の無限小解析が
厳密に扱えるので、一時期人気があった。
ただ、超実数の理論はかなり難しく、選択公理は置いておいても、極大フィルタって
何？と言う事になりかねない。結局普通の実数論をやらないとわからない事も多く、
ちゃんとやろうとすると極限論の方がまだ簡単だ、ということで主流にはならな
かった(結果だけを利用する数学以外の分野では、無限小解析的な考えは普通に行なって
いるので、別に数学者に厳密に構築してもらう必要もない(^_^;)…要するにどちら
でも一緒だし)。
結局、「ああ、いつも感覚的に無限小無限大を扱っていても特に問題がなかったのだ
から、ちゃんと理論的に構築出来るはずだよねえ」という感じで終わってしまった。
少なくとも、専門家は冷淡な態度を取っている人が多い。
288 名前： 投稿日： 01/12/17 13:28
dxdy=|det(∂(x,y)/∂(u,v)|dudv
これもけっこう悩ましい。
外微分形式では絶対値がちょっと違う
dxdy=-dydx とはならないよね。
289 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 13:39
>>288
それ以前に du とか dv って何よ
290 名前： ↑ 投稿日： 01/12/17 13:42
x=f(u,v),y=g(u,v)ね
291 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 13:49
290って289へのレスかな？289はそういう意味じゃなくて、du とか
dv という記号が何を表わしてるか疑問にしてるものと思われ。つまり
dx や dy は何かという疑問を du や dv は何かと言う問題にスリ替
えただけで、問題は何も解決してない。
292 名前： 288 投稿日： 01/12/17 13:55
ヤコビアンは面積の比を表すとおそわるが
その符号の意味を深く追及すると
重積分の計算が不自由になる。
だから外微分形式そのものではなくて
それに「絶対値」がついてる
なんとも妙なものを使っている
ということを
提起したつもりなんだけど。
294 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 13:57
あらら。かぶっちゃった。
ところで288の問題は面積にも向きがあると思えば
いいんじゃなかったっけ？
296 名前： 投稿日： 01/12/17 14:05
重積分から繰り返し積分にうつるとき
dx,dyの順序は気にしないよね。
これとdxdy=-dydxどはどう関係
してるのか。
キッチリ考えた人るかな？
297 名前： 投稿日： 01/12/17 14:09
ヤコビ自身は絶対値つけてたんじゃ
ないだろうか。
外微分形式てカルタンだっけ
いずれにしても２０世紀になってから。
298 名前： 71 投稿日： 01/12/17 14:20
dx とは Δx を 0 に近づけた極限であると思っている。
一つだけだと意味がわかりにくいので、x と y をセットにし、
dy/dx とは Δy/Δx の Δx を 0 に近づけた極限となる。
dy/dx を「比」だと思えば、一つの記号としてみることができる。
その値はいくらかと問われれば、f(x)dx＝g(y)dy のような式で表すことになる。
300 名前： 投稿日： 01/12/17 14:27
グリーンの定理やストークスの定理
では符号のいみが重要だよね。
グリーンもストークスも１８ｃ〜１９ｃのひと
301 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 14:37
>>292がらみの質問なんですけど、R^nからR^nへの１対１かつ上への可微分
写像に対してヤコビアンは0になることはあり得るけど、正の値と負の値を
取ることはありえなくて、常に ≧0 か、常に ≦0 のどちらかになる、とい
う定理があるようなんですけど、これってどうやって証明するんでしょうか？
このことに言及した本って意外に無くて、高木「解析概論」には説明はあ
るのですが、直感的な「説明」であって「証明」じゃないのが不満なんです。
303 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 14:57
>>296
むしろキッチリ考えないやつの方がどうかしてる。
304 名前： 投稿日： 01/12/17 15:00
繰り返し積分の順序を変える
ということは，
積分領域の方も裏返して
符号を変えてることになる。
だから，dxdy=-dydx と
打ち消しあって同じ結果になると
だいたいそういう話かな
305 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 15:05
うむ。そういうことだな。
ところで繰り返し積分ってなんかかっこわるいから
累次積分または逐次積分って呼ぼう！(笑)
307 名前： 投稿日： 01/12/17 15:18
杉浦「解析入門」見たけどやはり
ヤコビアンに絶対値ついてる。
微積ではそうなんだ。
323 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/17 20:23
ヤコビアンを知っているのかよ。あれを本当に知っている大学生は殆どいないようだよ。それもそのハズ、ちゃんとした説明がある数学の本はあるのかね。結果だけを掲載したのは沢山あるようだけど。
360 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/18 20:40
解析概論＋副読本として高瀬正仁「dxとdyの解析学 : オイラーに学ぶ」日本評論社
高校生にはハイラー・ワナー「解析教程」シュプリンガー
がお薦め。
378 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/19 04:10
みんなもいい加減バカの相手するのやめなよ。
dx,dyの話はどうなったんだ。
360の本はいい本だね。
ハイラー・ワナーは大学生にも十分勉強になるよ。
ボリュームはそんなにないけど演習問題は結構手強い。
554 名前： どうでもいいが 投稿日： 01/12/22 17:39
数学者ならば、ラグランジュ方程式やハミルトン方程式を導くのに、変分原理は使わない
運動方程式を変数変換して導く
この程度のことで得意げになられても困るよ・・・・
555 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/22 17:47
>>554
そうとも限らんだろう。
ある曲面上の極値曲線が欲しいときに
わざわざ運動方程式は立てないだろうし。
556 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/22 17:55
いや、”導く”ってのは理論を展開するときにおいて、って意味で
570 名前： math夫さん 投稿日： 01/12/22 22:34
１さんへ、----- 答にはなってませんが...
いわゆる「微分」という概念は、天才達の直覚に閃き、永年の進歩趨勢の中で
鍛錬され、その存在が徐々に厳密化されて来た数多くの「深い」概念の一つだ
と思います. 微分形式や無限小解析等様々の方向で厳密化されている（積分を
噛ませてRadon-Nikodymを併せれば測度としても解釈できるだろう）という事
実や、近代以降の可換代数やホモロジー代数の中でも重要性を獲得している事、
更には現代数学においても例えば環付トポス上の余接複体といった実り豊かな
一般化がある事等を考えると、初めは素朴で基礎もあやふやだった概念が、い
かに歴史の流れの中で豊かな可能性を具現して来たかを実感して、改めて驚き
を感じます. だから、決して消極的な意味でなく、これに初等的かつ厳密な解
釈を下すというのは限りなく不可能に近いと思います. むしろ、安直な解答を
望むより、微分という概念の近現代に於ける解釈や理論をじっくり腰を据えて
勉強して、徐々に自分の物として行ったら如何でしょうか. 確かに高校程度の
数学では解答は出ないでしょう. 大学に行って、たとえ数学科に行って微分形
式等を理解しても、やっぱりわからないかも知れません（私だってわかってな
いでしょう）. でもそれが内に秘めている豊かな数学的源泉や多くの可能性が
段々わかって来ると思います. その事の方が遥かに大事なのではないでしょうか.
初等的なレベルでも例えば対象とする関数等に多くの（不要な）制限を加えた
り、数学手品の様な議論を用いたりすれば（ある程度厳密らしく）解釈出来る
かも知れません. それはそれで（正しければ）何らかの意義を持つでしょうが、
「微分」という概念の深みや可能性を甚だしく矮小化している危険性がある事
に注意するべきだと思います.
574 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/23 17:59
math夫さんの発言についてですが、そうすると結局今の数学の勉強を
続けていけばいいことになって、１さんの高校の先生の言うことと
同じになってしまうのではないだろうか。
575 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/23 18:08
私はmath夫さんの挙げたような「一般化」は
必ずしも微分の本質ではないと思うけどな。
578 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/23 19:26
>>575
おれもそう思う。一般化といえば、たとえば「代数体の微分」というのもある。
Weilが短い注意書きみたいな「論文」を書いて、河田という先生がちゃんとした
論文にしたというもの。こういったことは面白いことだし、それなりに重要な
ことでもあるけど、だからといってこういうことまで理解しなければ、本来の
微分について理解できない、というものでもないと思う。
586 名前： math夫さん 投稿日： 01/12/24 22:47
570での私の意見は微分の本質とは何か、という当初の問題に対する解答を意図
していたものではありませんでした. そこに挙げられている様々の解釈、一般化
の例は、微分という概念が孕んでいた色々な展開発展の可能性の具体例として列
挙されていたに過ぎません. ただ、これを踏まえて、微分という物が趣深い概念
だという事を、主に歴史的視点から述べたものでした. ですから、「本質」につ
いては、未だ何も結論は出ていないと思いますし、私もそういう意味で「結論」
を意図していた訳ではありません. むしろ（多分良い意味で）振出しに戻ってい
るという感じさえします. 折角、575さんとか578さんのご意見もありますし、こ
の辺りから議論を再開して見ては如何でしょうか. また私としても、微分幾何の
人がこれに対してどの様に考えるのか聞きたいです. 及ばずながら、私も時間の
許す限り議論に参加させて頂きたいと思います.
652 名前： math夫さん 投稿日： 01/12/26 23:38
641さん素晴らしい！！ ちょっと見てなかった内にここまで書いてしまうなんて！
ちょっと提案いいですか？ せっかく649まで書かれたんですから、次はstokesの定
理を説明されたら如何ですか？ 私は昔、これが「微分積分学の基本定理」の一般化
に過ぎないという事を学んだ時、目から鱗が落ちました. １さんにもわかってもらえ
たら非常に良いと思います.
655 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/27 01:23
stokesの定理:
∫[D]dω＝∫[∂D]ω
721 名前： 641 投稿日： 01/12/28 18:03
レスもらったのでカキコ。
そのまえに訂正。>>641以降で積分を定義するときのk形式はすべて閉形式でないとだめ。
わすれてた。スマソ。
>>652
−定理−
f(x)の原始関数をF(x)とするとき∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)...(*)
をストークスの定理をつかって説明せよかな？
それには特異０複体と０形式を定義しとかんとダメね。D^0を一点、D^0上の測度μを
μ(D^0)=1として特異０複体とそれ上の積分を定義しておく。０形式は普通の関数
とする。ストークスの定理は>>655。以上の準備のもとで
R上の特異１単体Δ:[-1,1]→RをΔ(t)=(b-a)t/2+(b+a)/2でさだめておく。
F(x)はf(x)の原始関数だからf(x)dx=dF。よって
∫[a,b]f(x)dx
＝∫[Δ]f(x)dx
＝∫[Δ]dF
＝∫[∂Δ]F
＝F(b)-F(a)
ほかにも面積公式がらみでストークスの定理に類するものいっぱいあるね。
ストークスの定理をつかえばその手の定理しめそうとすると例の
“微小長方形”とか“微小三角形”とかつかうやな論法つかわずにすんでｶｺｲｲね。
803 名前： 641=721 投稿日： 01/12/30 18:02
>>802
きょうはふつうなレスがつくね。なんでだろ？
＞思うけど２次微分３次微分となる流れもあるし、微積分の教科書
＞からいうとそっちの方が大きいんじゃないかな？
もちろん微分幾何の考えがすべてではないけどdx/dt=sintという式
からdx=sintdtという式の変形をする段階では微分形式という考え方は
さけられないと思う。たぶんリーマン以前の数学者はdxとはなにか
という問いにその都度ご都合主義的にかってな解釈をあてはめたり必要に
応じてそのような記述をやめてみたり(つまり計算用紙での形式的計算の便法
として利用したり)していたんだと思う。しかしリーマンがこの式計算を
単なる“便法”としてでなくその意味を考えはじめたところから近現代数学が
はじまったといっていいほどの発見“(余)接空間”がもたらされたんだと思う。
あまりその筋にはくわしくないんだけどそれによって２つあった電磁場の法則
(たしかファラデーの法則)を一本にまとめあげてしかも共形不変な方程式が
もたらされその美しさゆえにアインシュタインが一般相対論を発見したはなし
はいわずもがなってとこだろう。他にも(これまたその筋ではないのであやしいけど)
余接ベクトル束以外のベクトル束は整数論なんかにも応用されてるらしい。
(重さwの保型形式とかいうやつ。重さ０が関数、重さ２が微分形式になるんだっけ。)
804 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 18:42
>>803
そんなに不思議に思わなくていいんじゃない？ちょっと前の
ふざけたのもいくつか書いているんだから、ほかの人は知らな
いけど。
で、無限小派の弁護を多少しておくと無限小ってのは別に「ただ
小さい」ってわけじゃない、基本量との比を意識した小さい量で
物理だと摂動っていうんじゃないかな？それで「その都度、御都
合主義的な勝手な解釈」ができるって取り柄があって差分とか
だって生まれるわけだからいいとこだってあるだろう！
って感じてます。
808 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:12
無限小って、いったい何に”比べて”無限小なの？
812 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:28
ある量ｘの二次以上の無限小量は無視する無限小量をｄｘと表記するってこと？
>>８11 どう？怒った？
813 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:32
一次の無限小って何だ？
814 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:32
ｘの何分の一だったらｘに対して無限小なの？
815 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:34
アホなこと聞いてるかもしれないけど回答キボン
817 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 20:39
>>812
全然怒ってないよ。(dx)^2 も無限小だよでも無視なんかしないよ。
>>812
そりゃ無限大分の1さ。
844 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/30 21:30
無限小を考える理由の一つに、無限小にした方が計算などが簡単になることが
多いということがあると思う。有限の差分で考えていては式が複雑になりすぎる
もしくは本質的な関係が見えにくくなるということがあるのでは？
その点では、誤差項を無視するという考えも似ているところはあると思う。
o(x)も、だいたいそういう使い方がされることが多いという点では似ている
かもしれない。
853 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 01/12/31 22:18
なんかやっぱりdx,dyを微分形式と解釈する派はなぜかここでは少数派
みたいだね。まあ無限小解析の用語と解釈できるのかもしれないけど
漏れは無限小解析なんてならったこともないのでそれについてなにも
いえない。でもどうかんがえてもそんな解釈はマイナーだとおもうんだけどな。
少なくとも>>803で書いたとおり微分形式は数学のいろんなとこで手を変え品を変え
あらわれてくるからどのみち微分形式がわからんと現代数学の醍醐味は
半分もあじわえんと思う。もちろん多様体をたとえばユークリッド空間とか
その開部分集合とかに制限すれば“多成分関数”とか解釈して微分形式の
議論をさけられるかもしれないけど、そんなことではだれかがいってたように
“必要のない制限を導入して微分という概念をゆがんで理解してしまう”
ことにつながるので避けたほうがいいとおもうんだけど。
その意味では>>1の先生はえらいと思う。わかったような気にだけは
させてもらえるいいかげんな説明をさけて大学できちんとしらべろと
いうのはある意味いちばん正しい説明かもしれないな。
まあことしはカキコ納め。よいお年を。
857 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/01 07:51
>>853
802です。無限小を聴く人がいたので、書き込んでいましたが、別に無限小派
ではありません。微分形式として考えるだけでは、d の色々な使い方の説明が
うまくつかないので、各点に無限小の大きさで張りついている接ベクトル空間
を想定しています。これの大きさが無限小でなく普通の大きさで扱われない方
が柔軟にものを考えられると思うのでそうしてます。もちろん接ベクトル空間
を想定しないのは変で、微積分の教科書でも何となくそんな風な感じのものも
ありますね。
856さんの説明に加え、この大きさが無限小だと思うという考え方をしています。
859 名前： どっかの数学科の人間 投稿日： 02/01/01 08:00
一応説明を。
ｄｘ／ｄｙは分数ではない。
で、ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｙ）ｄｙってのは
単に合成関数の微分法の逆として、ｆ（ｘ）をｘで積分するのと
ｇ（ｙ）をｙで積分するのは同じだよ。って意味（置換積分）
873 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/01 17:58
>>857
「無限小」というのはここでは
「線形近似が成り立つだけ十分小さな変位」
ととらえるのでいいのではないでしょうか。
常識的ですが，それがいいと思います。
■【微積分】dxやdyの意味２（今井入室禁止）
4 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 08:06
この話題はいままでの流れから見ると、微分幾何の流れ、つまり
微分形式、接空間の系統と、無限小解析の系統（これは微積分の
中にあるものと、ノンスタンダードアナリシスと両方）がはっきり
したもので、これらの統合するという雰囲気の話もありました。
統合した話、また一方のみで現存の微分式すべてスムーズに説明が
つくという話はでていません。
このような状態ですから、高校生に説明するというよりは一方の見方
で説明のうまくいかない事例をだして議論されれば、いままでにも
まして大きな意味をもつと思われます。
6 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 09:03
>math夫さん
＞「導関数」という概念は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない
これ本当？多様体上で局所座標の取り方によらないなんて
ありえないんじゃないの？
『ある座標で示されている微分可能な関数と
別の座標で示されている微分可能な関数が
曲面上で同じ微分可能な関数を表わしている条件は、
座標変換が微分可能な関数のときである』
だったよね？
まさか
絶対座標だけを認めて局所座標なんか認めない
という前提なのかな？？？（高校の範囲だから？）
8 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 09:51
>>6
普通，多様体の話する時って，どの程度の微分可能な多様体なのか
定めて，それを大前提にして話するんでないの。あんたの知ってる
多様体って，どんなのさ？
12 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/04 14:34
>「導関数」という概念は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない
>
> これ本当？多様体上で局所座標の取り方によらないなんて
> ありえないんじゃないの？
多様体上定義される概念で局所座標の取り方に依存しない概念は沢山あり
ます。例えば、「微分可能」という概念もその一例です。そもそも「多様
体」という概念は、位相空間とその上の（ｎ階とか無限階とかの）可微分
座標近傍系の細分に関する同値類との組概念でした。「座標の取り方に依
存しない」とは、その一つ指定された可微分構造の中の局所座標の取り方
に依らないという事です。勿論、「微分形式」（私は代数幾何が専門なの
「微分」とよく呼んでますが）もその様な、座標に依らない概念の一つで
す。関数の導関数は、必ず何らかの座標関数に関する微分なのであって、
これはそもそも座標系を一つ「固定」しなければ定まりません。それに対
して「微分形式」df の方は関数 f について、座標とは関係なく定まりま
す。この事はもっと一般に、多様体上のテンソルとかでも同様です。
15 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 18:23
＞多様体上定義される概念で局所座標の取り方に依存しない概念は沢山あり
＞ます。例えば、「微分可能」という概念もその一例です。
それは座標変換が微分関数であるという条件付きなんだから
局所座標の取り方に依存するんです.
この場合、
「ある座標での微分と別の座標での微分は異なっているかもしれないが、
ある座標で微分可能なのに別の座標では微分不能になることは無い」
ということを保証していて、
「ある座標で微分可能なら別の座標でも微分可能になるし、
ある座標で微分不能なら別の座標でも微分不能になる」
ということです.
先の文章を言いかえるなら
「座標変換が微分可能な関数のとき、
微分が座標変換による不変量になっていて
そのように局所座標を導入した位相空間は微分可能多様体になっている」
ということになります.
つまり「微分可能多様体の上では微分は座標のとり方に依存している」訳です.
もし座標のとり方によらないことを許すなら、
ある座標で微分可能なのに別の座標では微分不能になることもありうる訳で、
もはや微分可能多様体では無くなっているんです.
つまり微分を計算はできるけれど、もはやその微分は意味の無いものなんです.
以上の話は
志賀浩二、砂田利一「高校生に贈る数学V」岩波書店
の「第１回多様体が生まれるまで」P.26「座標変換について」
の部分に計算結果も書いてあります.
16 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/04 18:47
> それは座標変換が微分関数であるという条件付きなんだから
> 局所座標の取り方に依存するんです.
今一おっしゃっている事がわからない様な気もするし、お互い話が
噛合ってない可能性もあるので、返事には慎重を要するのですが、
やはりこれには friendly disagreementを述べるしかないと思いま
す。というのも、そもそも多様体、もっと詳しく言えば例えば C^n
あるいはC^∞級可微分多様体という概念そのものが、許容される座
標近傍や座標変換の概念と一緒に定義されている、もっと詳しくは、
可微分局所座標近傍らからなる座標近傍系（即ち被覆）の細分に関
する同値類（即ち可微分構造）と当該位相空間との組がそもそも可
微分多様体というものなのでありましたから、その上で「座標変換」
というのは、そこで定義された、即ち許容されたものに限られてい
る時に意味を持つ訳です。即ち、「座標変換が微分関数である」と
いうのは「条件」ではなく、定義によって与えられた状況からの帰
結と見るべきなのではないでしょうか。
> もし座標のとり方によらないことを許すなら、ある座標で微分可
> 能なのに別の座標では微分不能になることもありうる訳で、もは
> や微分可能多様体では無くなっているんです.
その通りだと思います。その様な事が起こらないために、多様体の
「可微分構造」という物の定義があの様になっている訳で、そこで
許容されている範囲を踏み越えた座標や座標変換を考えてしまうと、
それはそもそも最初に設定した「多様体」の定義の枠から外れる事
になるのではないでしょうか。
19 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 19:27
そこまでわかっておられるならわかると思うんですが、
＞「座標の取り方に依存しない」とは、
＞その一つ指定された可微分構造の中の局所座標の取り方
＞に依らないという事です。
このように書かれていましたが、可微分構造のなかから局所座標を
自由に選ぶというのは、「座標変換が微分関数である」という
「条件」の元に位相空間に局所座標をいれて、
言いかえるなら微分可能多様体を作り、
その局所座標の中から自由に選んでいるんです.
＞即ち、「座標変換が微分関数である」と
＞いうのは「条件」ではなく、定義によって与えられた状況からの帰
＞結と見るべきなのではないでしょうか。
そこが間違っていると思います.
『位相空間に「座標変換が微分関数である」という「条件」で
局所座標をいれたときに限り微分可能多様体になる』
というのが定義なんです.
つまり可微分構造というのは座標変換という「条件」に縛られた
局所座標ありきであって、座標のとり方に依存している訳です.
30 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 20:41
多様体で考えてる時点で局所座標の取り方に制限が付くんだから
局所座標の取り方によらないなんてありえないんだＹＯ！
32 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 21:15
math夫さんは多様体の定義がおかしいね.
松島与三「多様体入門」p.27
『定義１.
ｎ次元位相多様体Ｍの座標近傍系Ｓが次の性質をもつとき、
ＳをＭのC^r級座標近傍系とよぶ.
…
ＳをＭのC^r級座標近傍系とすると、
ＳはＭにC^r級可微分構造を定義するという.
』
松本幸夫「多様体の基礎」p.42
松島の定義で「ｎ次元位相多様体Ｍ」と言っているところが
「ハウスドルフ空間」になっている.
川崎徹郎「曲面と多様体」P.131
松島の定義と同じ.
細野忍「微分幾何」p.46
松本の定義と同じ.
どの定義も
「局所座標Ｓはハウスドルフ空間ＭにC^r級可微分構造を定義する」
となっていて、math夫さんの定義とは違っている様です.
もしmath夫さんの定義と同じ本があれば紹介してみては如何？
33 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/04 21:19
> つまり可微分構造というのは座標変換という「条件」に縛られた
> 局所座標ありきであって、座標のとり方に依存している訳です.
どうも単なる言葉のあやによる誤解でもありましょうし、私が「微分」
は座標に依らないと言った場合の論点とは明らかに異なるので、どうも
今一歯切れが悪いのです。貴方の言われている事ももっともです。ただ、
可微分構造というものの捉え方がお互い違うのかも知れませんし。定義
は一緒でもね。もっとも、可微分構造というのが局所座標ありきで、と
いう事でしたが、そうですが、しかし局所座標とか局所座標近傍とかを
表に出さずに多様体を定義する事も、例えば局所環付空間の言葉を使え
ば（本質的に同じですが）出来る訳ですし（その方向での一般化には環
付トポスとかある訳ですが）、その場合、関数にしろ、微分にしろ、局
所座標に言及しないで、何らかの層の切断として内在的に定義出来る訳
でした。この最後の事がむしろ論点な訳で、取り替える座標の種類に制
限があるのは当然としても、その中で座標に依る依らないという事が話
題だと思います。その意味でにおいては「導関数」は上の様に座標とは独
立に何らかの層の切断としては定義出来ませんし、むりやりしようと思
えば何らかのベクトル場を固定しなければならない訳です。「座標の取
り方に依らない」というのは、つまり究極的には（上の環付空間を使っ
た議論の様に）座標を全く表に出さずに議論、定義出来るという事な訳
で、通常この様な意味で使われていると思いました（あ、微分幾何の専
門家は違うかもしれませんが）。
47 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/04 23:12
かなり論点がズレて来た事は確かですし、多分それ程実りも無いでしょう
からいずれにしても元の論点に戻る必要はあると思いますが、一つ多分大
事で今後の議論の論点としても適当と思うのは、やはり微分形式は座標に
依らない概念だという事だと思います。勿論、これをして「微分」の本質
であるとは到底言えませんが、只、導関数だけでなく微分形式という物が
考えられた背景にはこの事が非常に大きく関わっていると思うからです。
座標に依らないという事は、裏をかえせばその場その場で都合の良い座標
を使って計算出来るという事をも意味する訳で、これが素の導関数にはな
い「微分形式」の強みであるし、微分幾何でも代数幾何でも非常に強力な
道具として発展してきた事の理由であると思います。
> １＞dxやdyって何なのでしょうか。
> で、微分形式が座標に依らずに定義されてるとしてドーヨ？＞math夫さん
dxやdyが何かという事の答え、とはちょっと言えませんが、その様な物、
つまり「微分形式」を考える「理由」にはなると思いますし、その意味で
私は前スレ３９を書いたのでした。
51 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 23:43
>>47
でも微分（dfみたいなの）が座標によらないことが
そもそもの疑問の回答で大事だとは思えないよ。
さて、どう話を進めるべきか？
高校生にもわかる微分幾何、ってのもありだろうけど。
53 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/04 23:47
> でも微分（dfみたいなの）が座標によらないことが
> そもそもの疑問の回答で大事だとは思えないよ。
おっしゃる通りかもね。高校生にはピンと来ないだろうし。
> さて、どう話を進めるべきか？
一つの提案として: 例えば高校生相手に２時間位「dxやdyの意味」に
ついて講義する事になったとする。出てくる数学は大学で習う様なもの
でも良いが、高校生たちに「よくわからなかったけど、何か学んだ」と
いう印象を持って帰ってもらいたいとする。そうした場合、皆さんなら
どの様に講義を組み立てますか？
54 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 23:50
微分形式で説明する２項目：
@
微分形式（が座標に依らずに定義されてる）
↓
∫[Δ]f^*(ω)＝∫[f･Δ]ω（置換積分公式）
↓
f(x)dx＝g(y)dy （１次元、１形式の場合の置換積分公式）
A
＞前スレ３９
「任意の関数の微分はdxに何らかの関数を掛けた形に一意的に書ける」という事、つ
まり、微分可能などんな関数 fを持って来ても df = h dxとなる様な別の
関数 hが必ず見つかり、しかも唯一見つかるという事です。実はこの hと
いうのが「座標 xに関する fの導関数」なのです。これから導関数を微分
商の形に書いた優雅な式 df=(df/dx)dx が得られる訳ですが、これは二つ
の微分を割って得られたという物ではなく、上の様な手続きで得られた式
なのだという方が若干厳密です。
55 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/04 23:56
>>54
を噛み砕いて、または可能な限り図化して説明して
「よくわからなかったけど、何か学んだ」と感じてもらう.
たぶん
df = h dx
を理解してもらう方が大変だと思う.
56 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 00:04
整合性を考えると
df = h dx
も微分形式（が座標に依らずに定義されてる）
から順を追って説明きぼーん！
57 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 00:07
微分形式で説明する派は概要が決まってきたみたいだね！
58 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/05 00:27
私も微分形式で説明するのが一番良いと思いますが、その場合、
@ 微分作用素を説明して、A その双対として微分に至る、という
方式もありだと思います。微分作用素はライプニッツ則等
の幾つかの性質から特徴付けられる訳でしたが、この様に「性質」から
「物」の定義をするというのは、高校生には（厳しいかもしれないが）、
数学がよくやる常套手段として何か「新しさ」を感じてもらえると思うし、
それに多分「微分」より「微分作用素」の方が、とっかかりとしては説明
しやすい。多分Aはハードと思う。単に線形空間の双対だって結構難しい
訳だし。だけど、「微分作用素」と「一次微分形式」はお互いに他に作用
し、作用される関係にある、というのは綺麗だし、「何か学んだ」と思っ
てもらえるかも。只、この様に算術的（というか代数的に）説明する場合
の利点は、座標に依らないという事がよりわかりやすいという事と、例え
ば「df = h dx を理解してもらう」のも比較的容易な感じがするという
事です。（うーん、今一自信が無いですけど。）
59 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 00:34
>>58
そんなの絶対無理だと思う。
60 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 01:08
>>59
そんなことないんじゃない？分野が違うけど
堀田良之の「加群十話」が同じノリで成功してる訳だし.
72 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/05 02:29
「高校生に贈る数学」は僕の本棚にはＩとIIしかなくてIIIはどんな
のかわかんないけど、そのノリで微分幾何というのは悪くないと思う。
そんな事を考えて本棚を見ていたら、
小林昭七著「ユークリッド幾何から現代幾何へ」（日本評論社）
長野正著「曲面の数学 ＝現代数学入門＝」（培風館）
の二冊が目に飛び込んできた。どちらも以前読んで目から鱗が落ちた
本だ。前者はちょっと高校生にはとっつきにくいかもしれないけど、
後者は著者も序文で「たてまえとしては本書を読むには高校程度の
予備知識で十分である」と書いている位わかりやすい。中を覗いてみ
ると果たして第２章の最初の節は「微分形式」で、そこには「...dx_1,
dx_2,dx_3は別に意味のない記号だと思った方がわかりやすいかもしれ
ない....」と書いてある。うーん、ちょっと残念。でも、最後はリーマン
面とかガウス・ボンネまで行くし、（本人と話した事もちょっとあるけ
ど）多分著者の日頃の口調そのままの文体という感じで読みやすいし、
ちょっと進んだ高校生たちが読む啓蒙書としても良いと思いました。
73 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 02:35
>>72
曲面の数学は微分形式が実際に役に立つところが見られていいよね。
俺はそっちから攻めた方がいいと思うなぁ。
微分形式って正体がよく分からないけどすごいだろう、って感じで。
74 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 02:38
長野正の「曲面の数学」って面白いけど
「２ 微分式論から」の部分だけできが悪いように思う.
ところで微分形式の説明でわかり易かった本ってある？
それをたたき台にすれば
長野の悪いところを補えるんじゃないかな？
79 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/05 05:18
>>74
微分形式の説明では
森田茂之「微分形式の幾何学（１・２）」
が一番いいと思う.（特に１の方）
まず微分形式とは多様体上で積分されるべきものと考え、
微分形式ωを定義する.
次に外微分を定義する.（d｡d＝０）
dω＝０となるωを閉形式という.
ある微分形式ωによってη＝dωと書くことができるηを完全形式という.
d｡d＝０から完全形式は常に閉形式である.
逆に、閉形式は常に完全形式か？
一般のC^∞級多様体の場合、閉形式は必ずしも完全形式とは限らない.
その差を反映しているド･ラーム コホモロジーが
多様体の大域的な幾何構造を反映する.（ド･ラームの定理）
ちなみにド･ラームの定理の基礎になっているのがストークスの定理.
ここまで高校生に説明するべきかな？
でも、この本は微分形式の使い方を見とおし良く説明している点から
お勧めできます.
これをどうやって
df＝h dx
に使うのか、
さらに、局所座標系によらないことの意義などを聞けるのを
楽しみにしてます.
86 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 03:35
式dx/√(1-x^4)=dy/√(1-y^4) には微分dx、dyが
入っているから微分方程式と呼ぶわけです。
では微分とは何かと問われたら、「無限小量」です。
その「無限小量」とな何だと問われたら、「どんな有限量よりも
小さい量」です。微積分の創始者たち（ニュートン、ライプニッツ、
ベルヌイたち、オイラー）ならそう答えると思う。
しかしそんな量の大きさは０であるほかはないから、実在しないでは
ないか、と言われると返す言葉はない。それでもそのような量を想像して、
属性を書き出してきたのが微積分の歴史です。
類例としては、虚数、イデアルなどがある。
属性をいくつも書き並べて、抽象代数の言葉を使ってニュートラルに
「概念の定義」を書こうとしたのが現代数学の歩みでした。
ブルバキはそうでした。しかしいくらそういうことをやっても、
草創期の不可解さが消えるわけではない。理論を構築することはできるけど。
そこでまた元にもどると、dxゃdyは「無限小量」と理解するままで
いいのではないでしょうか。その曖昧模糊とした星雲の中から、豊かな
諸概念が生まれてきたわけですから。
つまり、「それが生まれた当時の諒解様式を諒解すればよいのではないか」
と考えます。
95 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 04:04
今日はずいぶん遅くから議論がスタートしましたね。
> その「無限小量」とな何だと問われたら、「どんな有限量よりも小さい量」です。
> 微積分の創始者たち（ニュートン、ライプニッツ、ベルヌイたち、オイラー）ならそ
> う答えると思う。
でその「無限小量」なんだけど、実は今ボタチーニとかボイヤーとかの解析学の
歴史書を読み漁ってましてね、どうもライプニッツは若干違った風に考えていたら
しいのですよ. 例えばボイヤーの The History of Calculus and its Conceptual
Development (Dover Pub. 1949) の210ページにこんな下りがあります.
"In the first published account of the calculus, Leibniz gave a singularly
satisfactory difinition of his first-order differentials. He said that the
differential dx of the abscissa x is an arbitrary quantity, and that the
differential dy of the ordinate y is defined as the quantity which is to dx as
the ratio of the ordinate to the subtangent."
これは同じ本の12ページでボイヤー自身が言っている様に、dxとは「新しい変数」
とみて、dyはdy=f'(x)dxなる従属変量だという事を言っている訳です. 実際、
ライプニッツはdxとかに有限の値を代入したりもしているみたいでして、これは
つまり、ライプニッツはdxとかを「無限小」とみる漠然とした見方はしないで、むしろ
(勿論、そんな言葉は出てきていないし、もっと後も読んで見なければわかりませ
んが)シンボリックに微分形式的センスを持っていたのではないかと疑われるので
す. どうも、微積分の創始者達が古代ギリシャでゼノンらによってあからさまな
パラドックスを指摘されていた「無限小量」を全くナイーブに使っていたとは思えな
いし、何かしら彼らなりに(単にシンボリックだけかもしれないけど)踏み込んだアイ
デアがあって、それは結構、微分形式の考え方にも通じるものがあったんじゃない
かと夢想している所です. とりあえず、続きを読みます.
96 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 04:06
それにしても、このスレはなんでまたこんな深夜になってから
活発化するんでしょうね(笑)
>>86
そういう観点、いわば直観的な理解も大事ではありますが、
それだけじゃやはり駄目でしょう。
だからこそ元の疑問が出てきたんじゃないでしょうか。
さて、人に文句つけてばっかりだったからそろそろ
自分の意見も書いておきます。
無限小量というのは、dy/dx=f(x)と等価であるΔy=f(x)Δx+o(Δx)という漸近式を
等式化しようとして出てきた概念ですが、あくまで漸化式は漸化式で、
無条件に等式にしてよいはずがありません。
そこで、思い切ってdx,dyをΔxやΔyとは全く別物と考え、
逆にdx,dyから元のdy/dx=f(x)に至る道を新しく作った。
それが微分形式の理論なんだと私は思います。
97 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 04:08
８０、８２、８３、８６は同一人物です。
>>85
リーマンは何をしたかというと、ひとことで言えば
「ヤコビの逆問題の解決」でしょうね。そのために
作った基礎理論がリーマン面の理論。それで、「代
数関数はコンパクトなリーマン面上で考えないと本
性が明らかにならない」という認識を打ち出しまし
た。この場合の「本性」というのは、あくまでも
「ヤコビの逆問題を解く」という目的を前提にした
本性です。
代数関数の積分もリーマン面の上で考えなければ
なりませんが、そうすると「微分されるべきもの」
は関数ではなくなってしまいます（無限遠点があるし）。
この認識が、微分形式を生んだと思う。
多様体を考えることと微分形式の発見は不可分です。
だからといって「微分dxとは何か」という根源の問い
に対して何かを答え得たというわけではないのではないか。
つまり、そういう問いには答えないわけです。
もっともこれは数学の方面での話であって、ラグランジュ
の解析力学などにはおのずと多様体を考えるべき理由が
出ていたのではないでしょうか。よく知りませんけど。
だいたいリーマンが「幾何学の基礎にある仮説について」
という有名な就職講演で多様体概念を導入したのも、その
あたりに真意があった。多様体の概念がなければアーベル
の定理（加法定理のことです）も理解できない、なんて
言っているし。
無限小量は無限小量のままでいい。つまり曖昧なままで
いいのではないか。論理的な批判はつねに可能ですが、
草創期の大数学者たちは、種々の批判にたえて、そこから
数学を取り出そうとつとめてきたのですから。
101 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 04:14
> math夫さんは無限小量派を微分形式派にとり込むつもりなのかな？
いやぁ、そうではなくて、ライプニッツの様な草創期の大数学者達が「無限小」
はそのままで良いと考えていたとは到底思えない、という所が、僕の歴史書
を読もうと思ったきっかけだし、やっぱり、どうやらそうらしいというのが趣旨です。
103 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 04:21
>>101
でも少なくとも心のどこかで無限小だと思っていなければ
微積分のあの記法は作り出せないような。
まあ議論は当然あったんでしょうから、
いろいろと迷いつつやってたってことかも。
111 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 04:36
> でも少なくとも心のどこかで無限小だと思っていなければ
> 微積分のあの記法は作り出せないような。
でも論点はそこでは無いと思います. 確かに心のどこかには「無限小」という
直観はあったに違いないし、それはリーマンやエリーカルタンやそれこそ現代
の我々だってそうでしょう. でも、いくら黎明期といってもライプニッツの様な
大思想家がパラドックスまみれの「無限小」を全く無批判に使っていたとは思
えないし、彼らなりに「答え」があったと思うのです. それが何か知りたいし、
そこには微分形式にも通じるアイデアが高校生にもわかる様な形でちょこんと
あったりするんじゃないかなぁ、て感じです. いずれにしても「無限小」は「無
限小」のままでは歴史の流れを見てもいけなかったと思うんです. 確かに
アーベル積分とかに応用する段ではこれは本質的な事ではなかったと思いま
す. しかし、このスレの論点は何しろ「dxやdyの意味」なんですから、それそ
のものを議論しなければ始まらないのではないでしょうか.
> ラテン語（綴り不明）では別の意味もあるんでしょ？
> 語源からもさぐれないの？＞math夫さん
すいません、知りません.
112 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 04:36
８０＝８２＝８３＝８６、９７は同一人物です。
ライプニッツが微分dxを「任意の有限量」と見て
いたのは本当です。それは、ライプニッツが接線
を引く方法を問題にしたからではないでしょうか。
関数y＝f（X）を「今日の流儀で微分して」、微分
係数f'（x）を dy／dxという記号で表わすという場
合には、 dy／dxはこれだけでひとつの意味のある記号
なのであって、「分数ではない」ことになります。
昔にもどって、
dy＝f'（x）dx
という「微分方程式（微分dx、dyが入っている方程式
という意味です）」を直接作るとき、xゃdyは無限小量
にまちがいないd。ところがこの微分方程式はまさしく
同時に「接線の方程式」を表わしている。
方程式dy＝f'（x）dxを微分方程式と見れば微分dx、dyは
無限小量、接線の方程式と見れば任意の有限量です。同じ
記号で表わされる「ある数学的対象」が、無限小量であっ
たり、任意の有限量であったりする。まさしくそこに「微
分のあいまいさ」があるわけで、これを論理的な視点でい
っぱつで規定しようとするのは無理です。
微分方程式を解く場合には無限小量、接線法のときは任意の有限量。これでいいと思う。
しかし少し神秘主義的ではありますね。
120 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 04:54
> 同じ記号で表わされる「ある数学的対象」が、無限小量であったり、
> 任意の有限量であったりする。
まぁ、私の歴史の勉強も未だ始まったばかりだし、今の段階では何とも
言えないのですが、ただ、上で引用した個所で僕が気になっている、
最も重要なポイントは dx を全く独立の変量と見るという点なんです. つ
まり、無限小とか任意の有限量とかで evaluateされる前の段階の記号
として導入していたという点です. その背景には勿論接線の方程式は
あったと思うし、実際その様な記述もあります. しかし、これを「全く別の
物」として考えたというのは一つの曖昧さを回避するためのアイデアと
いう気がします. Victor J. Katz (Arch. Hist. Exact Sci. 33 (1985) 161-)
によれば、エリーカルタンは微分形式を導入する際にdxとかは「純粋に
シンボリックに」考える、として導入したそうです. 勿論、これで発展の
歴史が終わった訳では決して無く、その後の(我々が知っている様な)意
味付けも多くの苦労の末得られたと書かれてます. 「これでいいと思う」
とは、古代ギリシャ以来誰も考えなかったと思うし、それを出来る限り
探求しようというが、このスレの面白い点だと僕は思ってました.
121 名前： ９３ 投稿日： 02/01/06 05:00
その後、多様体の微分形式は局所座標に依存する形で定義したのに
局所座標に依存しない形にも出来るということがわかってきたんだよね.
122 名前： 110 投稿日： 02/01/06 05:04
>>120
ちなみに、独立の変量と見て接線の方程式の変数として
dx,dyを定義するのがさっきちょっと言いかけた解析概論流だったりします。
なかなかいい導入だと私は思います。
前スレを見ると混乱した人も多いようですが(^^;
124 名前： ９３ 投稿日： 02/01/06 05:08
>>122
この流儀、前スレではなぜか不評でしたね.
自分は高校のときこの流儀で習いました.
ちなみに小平邦彦の母校です.（ｗ
128 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 05:18
＞「記号として導入する」「純粋に シンボリックに考える」
こういうのは「実体の意味を考えるのはやめよう」という
考え方のような気がする。数とは何か、とか、微分とは何か、
とか、意味を考えはじめるとあいまいになったり、
矛盾が出たりするから、考えないことにする。現代の数学は
だいたいそういうふうに構築されていると思う。
これはこれで有力な考えで、「近代主義」というものでは
ないだろうか。ライプニッツはすでにその点に気づいていたわけだ。
しかし、そうすると、出発点の１さんの疑問に対しては、
「意味を考えるからわからなくなるのだ」「記号だと思え」
と答えることになってしまい、説得力にとぼしくなるのではないだろうか。
130 名前： ９３ 投稿日： 02/01/06 05:23
（´-`）.。ｏＯ（・・・128っていったい・・・）
131 名前： 110 投稿日： 02/01/06 05:25
>>130
同感ｗ
132 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 05:25
>>128
> 「意味を考えるからわからなくなるのだ」「記号だと思え」
> と答えることになってしまい、説得力にとぼしくなるのではないだろうか。
同感です. ライプニッツの「アイデア」は、何しろライプニッツの様なその時
代きっての大思想家から出てきたものなんだから高級過ぎるとも言えるし、
その「解答」も我々の目標から言えば到底満足出来ないし、これをして
高校生への「説明」とする訳には行かないと思います.
133 名前： math夫さん 投稿日： 02/01/06 05:27
> 数とは何か、とか、微分とは何か、 とか、意味を考えはじめると
> あいまいになったり、 矛盾が出たりするから、考えないことにす
> る。現代の数学はだいたいそういうふうに構築されていると思う。
しかし、これは賛同しかねます. 数学の発展は「考えない事」で
問題点を回避するというものではなかったと思うのですが...
147 名前： ９３ 投稿日： 02/01/06 06:55
東大の歴代教科書を比較してみる.
木貞治「解析概論」pp.35-37
小平邦彦「解析入門」pp.107-109
杉浦光夫「解析入門T」p.82
高木と小平はまったく同じ導入方法です.
dx,dyの意味は：
木は説明は特にしていません.
対する小平は「dx,dyに意味はない」としています.
杉浦はあっさりしすぎてて…dx,dyの意味も説明無しです.
152 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/06 14:43
f(x)dxも一つの記号だとしてしまえばいい。微分形式の等号は
f(x)=g(y)dy/dxのとき、もしくはx=x(t),y=y(t)の形ならば、
f(x)dx/dt=g(y)dy/dtのとき、f(x)dx=g(y)dyと定義する。
多様体上で接空間を導入して定義するやり方も、これと同種の「言葉」
にすぎない。
「言葉としての数学」はこんなものじゃないだろうか。
しかし、それだけでは数学を理解したことにはならない。
f(x)dx=g(y)dyは無限小部分で成立している等式で、その各部分の和をとって
積分記号∫（これはsumのsからきているらしい）をつけても∫f(x)dx=∫g(y)dy
が成立することを「直感的に理解する」ことが重要だと思う。
言葉を超えた直感的理解が重要なのは数学では何も微分に限ったことじゃないんだけど
高校レベルの数学で問題点が典型的にあらわれてくるのが「微分」だというだけ
なんじゃないかな。
220 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/01/08 18:21
>>219
まあ、そういう結論がないでもないが。しかしそもそも伝え聞く所に
よると昔オイラーとかの時代には(dx=Δxの極限)みたいなきちんと定式化
されてない時代があってそれがもとでオイラー自身初歩的なまちがいを
随分したそうだ。それでなんとかだれもがこう定義するのがいいと
納得できるような定義が求められてでてきたのが微分形式で通常よほど
それでは困るというような場合以外はdx=微分形式という通常の解釈が
おちついたんだからやっぱりこれを優先すべきだろう。ひとつの記号が
いろいろに解釈されるのはかまわんが一般的に通用してる定義はいちおう理解
してもらわないとこまる。微分形式の事を報告集とか論文とか書くとき
いちいち“本稿ではdxとは・・・”とか説明させられたんではたまらんのじゃないか？
すくなくとも自分ではこう思うってのがある分にはかまわんが人に何？ってきかれて説明するときは
まず世間一般で通用する第一義を説明すべきだろう。
■ｄｘやｄｙって何？
1 ：１３２人目の素数さん ：05/02/06 19:58:34
量ですか？関数ですか？
8 ：１３２人目の素数さん ：05/02/06 21:01:13
使い方は熟知されてるけど
思考の対象としては解釈がバラバラで未だにはっきりと結論は出ていない
11 ：１３２人目の素数さん ：05/02/07 00:37:32
こんな意味深で悩ましい記号を考え出したライプニッツは神。
37 ：１３２人目の素数さん ：05/02/11 19:07:24
高校数学で、
積分の変数変換するときに
例えば x = 5t と置いて
「dx = 5dt より、∫f(x) dx = ∫f(5t) 5dt 」
みたいなことしてたけど、これってどう納得させてたんだっけ
dx = 5dt の時点で（少なくとも高校数学では）意味のない、形式的なことをやってるのに
39 ：１３２人目の素数さん ：05/02/11 20:52:46
変数分離型の微分方程式で y'＝f(x)/g(y) ⇒ f(x)dx＝g(y)dy
ってのもあるぞ
57 ：１３２人目の素数さん ：05/02/28 11:44:37
よく数学の教師は置換積分するときに
「形式的に dt＝〜dx として、」
って言ってるよね、そのことで質問しに行ったら、
「dy/dxは分数じゃない、でも分数と同じように扱っても、結果的に
正しくなるから」と言われた、納得がいかなかったからこのスレに来た
61 ：１３２人目の素数さん ：05/03/01 02:33:15
>>57
結果的に正しくなるからというより、正しくなるように記号を作ったと考えるべし。
69 ：１３２人目の素数さん ：05/03/11 22:31:49
懐石の本ってｄｘの正確な定義が分かってないのに
ぐちゃぐちゃと理論が進んでいくのは
ほっっっんまいや！！！
71 ：１３２人目の素数さん ：05/03/11 22:48:58
dxってxの微少増加部分なんだろうな。論理を気にせずどんどん計算してたら
色々応用できちゃった…と。
εδ論法できちんとした論理の組み立てができても、昔の便利なやり方は棄てられなかった…。
でも超準解析できちんと示されているんだっけ…。
72 ：１３２人目の素数さん ：05/03/11 22:50:10
>>70
じゃ、 （５＋２ｙ）ｄｘ＝３ｘｙｄｙ なんつーのは？
76 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 02:05:55
(5+2ｙ)dx=3ｘｙdy
{(5/y)+2}dx=3xdy
dy/{(5/y)+2}=dx/3x
両辺を積分して
78 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 08:02:40
>>76
だから、なんでそういった形式的なことができんの？
79 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 08:20:51
結局、やり方を素直に覚えるのが大事なんだと気付いた
大学１年の夏・・・・
「やり方だけ覚えるなんてだめだ。常にどうしてそうなるのかを
考えなくてはいけない。それが理系だ」という教えはたぶん嘘・・・
80 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 11:14:54
>>78
そもそもそいう事をしたかったから作られたもの.
81 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 11:37:18
>>78
(5+2ｙ)=3ｘｙdy/dx
1/{(5/y)+2}dy/dx=1/3x
両辺を積分して
∫1/{(5/y)+2}(dy/dx)dx=∫1/3xdx
∫1/{(5/y)+2}dy=∫1/3xdx
と同じ意味。ただ書き方が違うだけと思えばよい。
84 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 20:41:11
>>81
だから、元々の最初の式に…どんな意味があるの？厳密に。
>>79みたいな態度もまあ良いだろうけどさｗ でも厳密にやることが目的の「数学」にいきなり
非厳密の塊みたいな式が提示されてもねー。
>>83
形式的にはね。俺もそれ計算するよ。
で…
(5+2ｙ)dx=3ｘｙdy
の「厳密な意味」は？
86 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 20:58:52
>>79
だからあ、教える教授も教科書も「ここあまり厳密じゃないけど、超準解析で証明済み
だから使用するね。厳密さが欲しいなら超準解析勉強してねー」って言ったり書いたり
したらいいんだよｗ
89 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:31:03
＞(5+2ｙ)dx=3ｘｙdy の「厳密な意味」は？
超準解析とか言わなくても、微分形式を勉強すれば厳密に理解できる。
微積分の教科書で接束まで解説できないので、ごまかしてるだけ。
90 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:35:24
超純は最初の2ページぐらいで微小数を定義してしまう。。。だまされてるみたい。
92 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:39:57
>>89
どんな本読めばいい？
93 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:40:53
大学４年間行ったが超準解析習わんかった。
何で？
１．超準解析は重要じゃないから
２．あやしさ爆発なので授業ではやらない
３．難しいから院でやるレベル
４．ドキュソ大学だったから
５．その他
102 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:55:08
>>100
だったら、それをきちんと教科書に明記するなり、教授が説明しないと「厳密」から
はずれるんじゃないの？
103 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:56:33
最低限、「微分形式あるいは超準解析でこの部分は証明されるが、ここでは形式的に
このように取り扱う…直観的に扱えるから便利だ」なんつー文が必要なのでは？
105 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 22:58:55
>>103
一寸考えれば、そんなものを使わない
議論に書き直せるだろ。
書き直せない読者は想定されていないんだと思う。
そんな事断っても、気にならない人には煩いだけだし。
107 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:01:12
>>105
そりゃ分かるよ。だからって明確に教科書に書いていて、かつセンセーも堂々と使っている
コトが「他に書き換えられる」であたかも無かったかの様に納得できるのかｗ
量子力学みたいに、結果さえきちんとわかってりゃいいの？
110 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:10:29
>>107
微分形式を教えないとして。
１．微積分の中で、3xy dy と書いてあるような箇所は、全て
微分形式を使わない形で書きなおす（読み直す）ことができる。
２．形式的算法として dx dy を用いると計算上楽。
３．算法と割り切って、最初に一度 dx とかを使っている部分を
使わない方法で厳密に書き直すとよい。
何か問題でも？
たぶん３の苦労をさぼっているから、いつまでもわからない。
自分で手を動かさないと、ただ本を読むだけでは身につかないよ。
111 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:14:06
>>110
さぼっているんじゃなくて、ここにあるように、ちょっとでも納得できる
説明が欲しかっただけだｗ
「★★あるいは○○で後々証明できる。ここでは形式的に扱う」みたいなね。
112 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:16:07
つーかさ。実際のトコ覚えるべきこと、どんどん出てくるから、この部分で立ち止まって
考える時間がないというのが本音だろう。俺だって割り切って練習したよ、そりゃｗ
でも、もっと良い方法があって、より納得させられたのではないか…と言っているだけ。
113 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:20:14
説明？微小量だよ。それ以上どういう説明が欲しいわけ？
114 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:22:59
厳密なやつ頼む〜たのむ〜たのむ〜
人類は「極めて小さなｘ」なんつー曖昧な物を排除するために、「εδ論法」を作り上げたんじゃ
なかったんかいな？それなのに、ああそれなのに、またまた微少が復活すんのｗ
115 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:24:49
>>114
そうそう。そういう間違った方向にに考えが向くと dx が
どんどんわからなくなってしまうんだよねｗ
123 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:35:30
無限を直観で捉えられると思っとるのがまず間違っとる
125 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:36:29
>>123
直観以外の説明もdxについてはないじゃないかｗ
128 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:49:08
だから納得いかないヤツは微分形式なり
超準解析なり自分で勉強しろっちゅうのにｗｗｗｗｗｗ
129 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:51:15
dz=ｆ*dx + g*dy
なんて出たらストレスたまりまくりだな
130 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:51:32
微分形式勉強してもdxは形式ですって書いてあるだけだけどなあ。
超準は知らんが。
131 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/23(水) 23:52:35
>>128
マジレスカコワルイ。このネタスレは、
・dx は納得できない
・微分形式や超準解析は勉強するのめんどい
人たちが、楽な近道があると思っているスレですから
132 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 00:01:41
微分形式は基底のdxを別の基底duに変換して、テンソル解析に行ってしまうから
dxはベクトルのベースぐらいの扱い。関数空間、ソボロフとかのベース関数みたいなもの？
134 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 00:07:32
>>130
そなの？だったら大した意味無いな…残念…。
でも、きちんとした定義なくて使うよりましか。
137 ：BlackLightOfStar ◆ifsBJ/KedU ：2005/03/24(木) 06:31:19
この解釈でいくとき、dy=f(x)dxはどう見るべきなんだろう？とりあえず安直に考えて、xが微妙に動くにつれてyはそのf(x)倍の変化をするととれる。
141 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 11:04:19
いずれにせよ、局所的なんつー厳密じゃない事が使われているな。
そりゃ直観だと簡単に把握できるけどさー。
前の方で茶化している人がいるけど、ｄｘとかを把握できんとか言う
わけじゃなくて、せっかくε−δ論法で解析学の曖昧な部分をなく
して来たのに、なんできちんとした定義も行わずｄｘとか意味不明な
物を使用するのか、「教育的」におかしいんじゃないかってコト。今の
ままだと直観で把握するしかないだろ？
定義が曖昧なのを使うなら、「ここで勉強しますよ」ってどこかに明記
しろってこと。数学を書籍だけで独学で勉強しようとする人がいたら
わけわからん状態になるんじゃないのか？近くに図書館もなく専門
書籍は郵便で注文し（従って本がくるまで内容を吟味できない）、
山深い雪の中の一軒家にすんでいて動物の世話で家を長時間離
れられない様な人はどうなるんだ？
147 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 12:22:47
>>145
dz=ｆ*dx + g*dy
⇔(def)
∂z/∂x=f, ∂z/∂y=g
ということで、ど？
148 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 12:25:03
>>147
ｆとgが決まったからなんなのって言われるぞ
149 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 12:29:27
このように，微分ｄｘ，ｄｙ，ｄｚの線形結合で書かれる量
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｘ＋ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙ＋ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚ
は「微分１形式」あるいはパッフ形式と呼ばれますが，曲線に沿って積分するという考え方を，２次元・３次元空間内の曲線に対してあてはめるとき，微分１形式を考えるとよいことが理解されます．（０形式とは関数ｆのことである．）
閉曲線Ｃに沿って１周すると仕事Ｗは，
Ｗ＝鼎（ｆｄｘ＋ｇｄｙ＋ｈｄｚ）
これをＣを境界とする閉曲面Ｓ上の面積分で表すと
Ｗ＝∫S｛（∂ｈ／∂ｙ−∂ｇ／∂ｚ）ｄｙｄｚ＋（∂ｆ／∂ｚ−∂ｈ／∂ｘ）ｄｚｄｘ＋（∂ｇ／∂ｘ−∂ｆ／∂ｙ）ｄｘｄｙ｝
となるというのが「ストークスの定理」です．
しかし，その意味不明さも手伝って，多くの人は逃げ出したくなるに違いありません．また，ベクトル演算の１種であるｒｏｔ，あるいは，微分演算子▽を使えば，
ｒｏｔＦ↑＝▽×Ｆ
＝（∂Ｆz／∂ｙ−∂Ｆy／∂ｚ，∂Ｆx／∂ｚ−∂Ｆz／∂ｘ，∂Ｆy／∂ｘ−∂Ｆx／∂ｙ）
となりますから，右辺の積分記号を除いた｛・・・｝部分には，異なる表記
（ｒｏｔＦ↑）xｄｙｄｚ＋（ｒｏｔＦ↑）yｄｚｄｘ＋（ｒｏｔＦ↑）zｄｘｄｙ
を与えることができますが，かえって混乱を招いてしまうでしょう．
150 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 12:33:47
>>148
dz=ｆ*dx + g*dy
は
∂z/∂x=f, ∂z/∂y=g
ということを表すだけの記法、ということで。
151 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 12:49:33
なるほどね。
で、それをきちんとどこかに明記すべきだな。解析概論だって明記してなかったんじゃなかったっけ？
161 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 16:49:01
＞せっかくε−δ論法で解析学の曖昧な部分をなくして来たのに、
＞なんできちんとした定義も行わずｄｘとか意味不明な物を使用するのか、
＞「教育的」におかしいんじゃないかってコト。
上の発言は矛盾しているな。ε−δ論法を理解したなら、
ｄｘとかいう便宜的表記の「本当の意味」は分かるはず。
それとも、ｄｘという表記と、ε−δ論法に何の結びつき
もないのが「教育的」でないというのかな？
ε−δ論法が理解できない奴が、ｄｘという表記だけから
意味を推測して外れまくっているからといって、表記に
文句をつけるのは馬鹿げている。どうしてε−δを正面から
突破しないんだ？
162 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/24(木) 16:57:56
>>161
＞上の発言は矛盾しているな。ε−δ論法を理解したなら、
＞ｄｘとかいう便宜的表記の「本当の意味」は分かるはず。
もしそうなら、このスレは一瞬にして終了するか、あるいはネタスレ化していた
はずだ。いろいろ論議があったってことは、そうじゃないことを示唆しているんじゃ
ないのか？
193 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 08:35:00
荒らしが勝手に「上げ膳下げ膳シル」なんて騒いでいるが（ID制が
欲しいなｗ） dxのきちんとした定義はやはりどこかに明記すべき。
解析概論でも何の説明もなくいきなりdxとかが表れ、直感的理解から
いきなり何の説明もなく応用まで求められる…
高木ｾﾝｾも、この部分の本質を「理解」してなかったんじゃないのか？
面倒だからパスしてたと…。
205 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:24:26
>>201
君が読んだ本に書いてなかっただけでしょ。何冊か本を当たるべし
207 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:37:45
>>205
高木センセーの解析概論には書いていない。俺の大学時代の本にも書いていない。
これじゃ、雪原の中で数学を独学しようとする青年には酷な話だな。図書館とか利用できないしね。
逆に聞くがきちんとdxやdyを定義している解析の本の具体名を教えてくれ。
212 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:48:39
>>207は一冊で何でもかんでも書いてある本が欲しい、と言いたいの？
それは無理だと思うけど、例えばシュワルツとかはちゃんと書いてあるはず
213 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:54:54
>>212
いや、そうじゃなくて
「ｄｘとは･･･」
という一文が書いてある本が欲しいんだろう。
ないものねだりだな。微分積分を定義するのに
ｄｘは必要ないんだからな。
214 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:57:50
厳密な定式化が知りたければ、微分形式を勉強しよう・・・と
過去スレに何度も出てるのだが。で、微分形式がわからんから、
俺でもわかるｗ大学初年向きの本を教えろと。まさに >>184 だねｗ
215 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 15:58:20
Keislerの無限蒋介石にはキチンと書いてあるよ
落ちこぼれでない大学一年生なら読めるはず
216 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 16:01:48
>>214
微分形式のdxは接空間上の基底に過ぎない。
>>1の聞きたいことがそれなら結構だが、
どうもそうではないように思われる。
217 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 16:04:01
>>215
キースラーにも書いてあるね。超準解析よりも微分形式のほうが
他にも役立つことが多いし、数学科ならいずれは習うことになるから
微分形式のほうを私は勧めます。でも、こう親切に書いても「それなら
微積の本には、超準解析か微分形式を将来勉強すれば・・・と書かないと
雪原でなんちゃら」とかレスするんだよなあ。
223 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 17:21:17
>>218
それが教育だろ？粘着だって？あっさり引き下がる問題か？
あの解析概論にも書いていないのだから。
228 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 17:44:33
＞あの解析概論にも書いていないのだから。
ハイラー＆ワナーの"解析教程"を読めよ。
読んで分からなかったら質問しろ。
但し、ｄｘの定義とかいう無意味なものを
追い続けるのは諦めろ。数学はそういう風には
考えていないことをいいかげんに受け入れろ。
数学は貴様のものじゃない。
232 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 18:06:32
煽っているお前らって、結局 dx とかの定義分かってたのかｗ
233 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 18:07:52
普通分からなくても直観的理解で先に進むだろ。その部分は。
246 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 19:45:13
ああ。キースラーのコトか。ＯＫＯＫ． 茶化さんで書いてくれよ。
247 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 19:57:51
ﾊｲﾗｰ＆ﾜﾅｰ読めってﾚｽがあるけど
そんなこと書いてあったっけ？
下巻？上巻？
249 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 22:54:09
というか、\int f(x) dx は、 f(x) の積分である、と定義されるけれども
微分形式的には f(x) dx の積分であると考えた方がよい、というのは
多少高度な教科書には結構書いてあるんですよ。。。
知らないのは単に不勉強なだけですし、一般教養の学生向けの
本にそんな事書いても、言葉だけの上辺だけの知識になることは
目に見えてるんだから無意味、という意見もあると思います。
解析概論は19世紀の水準の本なんだから
あまり無茶な事ばかり言ってはいけません。
個人的にはディユドネとかシュワルツ、それからホイッタカーがあれば
解析概論なんて要らないと思う
253 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/25(金) 23:54:23
ちょっと気になるスレタイなので、口を挟ませてもらいます。
微分幾何は知ってるけど、その他はど素人です。
いままでで、
dxは「微分形式」であるというのと、
「超準解析で使われている」との回答がありました。
しかし、「微分形式」は微分幾何では結局、
R^n上への積分（リーマンまたはルベーグ）に持って行くため、
これは回答として不正解ではないかと思えます。
いかがでしょうか？
これら以外の考え方などあったら教えてください。
255 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/26(土) 00:01:27
>>253
結局はR^nに落として考えるということと、dxを微分形式として
厳密に定式化するということは相反しない。
両方とも理解することが必要です。
256 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/26(土) 00:02:14
>>250
単に計算に便利だから dx をつける、というだけでしょ
そもそもLeibnitzは当初は積分を \int f(x) とだけ書いていたが
計算に便利だ、という事で dx をつけるようになった
257 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/26(土) 00:09:47
>>255
回答ありがたいのですが、意味が分かりません。
私は、「dxが微分形式であ」ろうと、
結局 \int f(x) dx にR^nのdxが出てきてしまうため、
このdx（R^nのdx）の意味は分からずじまいだ
と言いたかったのですが。
258 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/26(土) 00:13:23
ただの記法の問題で、
最初にfの区間Iでも積分を
Int(f,I) とでも書いとけば何も問題ないじゃないですか
259 ：257 ：2005/03/26(土) 00:19:08
>>258
そういう考え方もあると思います。
しかしそれだと、使いづらい！！
まぁ、記法の問題・慣習の問題なのですが
それにしてもなあ・・・と思うわけでして。
（ってのは俺だけかな）
260 ：１３２人目の素数さん ：2005/03/26(土) 00:42:00
>>256
> 単に計算に便利だから dx をつける、というだけでしょ
いや, f(x) dx で区分求積していたもの
278 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/05(日) 06:16:02
ｄｘの意味が説明されてるいい本ありませんか？
281 ：２７８ ：2005/06/05(日) 10:57:21
>>280
レスありがとうございます。
ｄｘが余接空間の元だということは分かるのですが、
はっきりとそう説明してある本を見たことがないです。
あと、ｄｘの方は積分できるのに接空間の元∂/∂ｘ
の方には積分がないのはどうしてなんでしょうか。
当方門外漢でよく分からないのですが…。
283 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/05(日) 13:06:07
>>278
多様体の本にはたいてい詳しく書いてあるよ
285 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/05(日) 18:22:08
多様体の本なんか見たってdxがわかったことには
ならんだろ。そんなんでいいならはじめから問題に
ならないよ。
286 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/05(日) 20:10:56
>>285
>>281の疑問に答えるには十分でしょ。
すくなくとも接ベクトル場の双対であることは明確に書いてあるよ。
もっともおれにはこのすれでなにが問題になってるのかさぱーりわからんけどね。
287 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/05(日) 21:29:39
なんで各種の演算が出来るか不明ってコトでしょ。
直感じゃ理解できるけどね。
294 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/06(月) 20:23:54
dz=ｆ*dx + g*dy
の厳密な意味は？
300 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/07(火) 06:20:19
過去ログより転載
39 名前： math夫さん 01/12/13 17:55
「dxの意味」についてはやはり厳密な議論は初等的には出来ませんので、
これは諦めますが、多分参考になるであろう事を若干書きます。
一般に（微分可能な）関数f(x)に対して、dfと書かれる「f の微分」とい
う概念があります。この概念が導関数（あるいは微分商と呼ばれる）df/dx
に比べて、捉え難い理由は、導関数は関数なのであるのに対して「微分」
は関数でも数でもないという点です。言わばそれらとは関係があるが全く
別の概念なのです。勿論、直観的には「微小変化」という事で捉えられる
し、それはそれで有用な解釈なのですが、数学的に厳密に捉えるのは初等
的には容易ではありません。歴史的に見ても、上で言う微分の概念は
ニュートンの師バーロウが既に持っていたものですが、数学的な基礎付け
はずっと後の話しです。ですから、ここではこの「微分」の定義をするよ
り、何故その様なものを考えるのか、導関数だけではいけないのは何故か、
という点と、微分と導関数の関係について説明します。まず、微分を考え
る理由は
「導関数」という概念は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない
という事です。つまり、導関数を求めている時、即ち関数 fの「微分をす
る」という時、我々は必ず何らかの座標、例えば xについての導関数を求
めている訳です。違う座標をとれば導関数は異なります（鎖法則ですね）。
ですから、解析力学や微分幾何学等で「座標の取り方に依らない」より明
解な議論をしようとする時に、導関数よりも微分の概念の方が重要となり、
そのため微分形式等の理論装置が出来て来た訳です。
301 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/07(火) 06:20:27
ではこの微分という物と導関数の関係はどうなっているのでしょうか。ま
ず、「微分」というものそのものは依然得体の知れないものだが「微分」
には関数が掛けられる、つまり、微分×関数はまた微分になるという事を
認めて下さい。さらに座標関数（例えば、 xという関数）を考えて下さい。
これの「微分」dxはちょっと特別な性質を持ってます。それは「任意の関
数の微分はdxに何らかの関数を掛けた形に一意的に書ける」という事、つ
まり、微分可能などんな関数 fを持って来ても df = h dxとなる様な別の
関数 hが必ず見つかり、しかも唯一見つかるという事です。実はこの hと
いうのが「座標 xに関する fの導関数」なのです。これから導関数を微分
商の形に書いた優雅な式 df=(df/dx)dx が得られる訳ですが、これは二つ
の微分を割って得られたという物ではなく、上の様な手続きで得られた式
なのだという方が若干厳密です。
302 ：２７８ ：2005/06/07(火) 08:10:38
>>300、>>301
過去ログの転載助かりました。ありがとうございます。
なるほど、もともと「微分」というのは微小な量と直接は
関係ないということですね。ところで、「導関数」という概念
は座標の取り方に依るが、「微分」は依らない、とありますが、
df=(df/dx)dx の関係からすると「微分」の方も座標の取り方に
依っているように見えました。違うのかな？
303 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/07(火) 09:12:09
過去ログの所見はいわゆる後知恵というやつだね。
もともとというなら「微分」は無限小量に決まって
るんだよ。それじゃあどうたらこうたら議論が
起こって、後からいろいろ理屈を考えた。それが
「理論」というものだ。無限小が先。理論は後。
ああも言える、こうも言える。だからいろんな「理論」
ができてますますわけわからんになるんだよ。
そこでどうするかというと、よさような「理論」を
ひとつ決めて、それを墨守する。それなら疑問は
起こらないから安心だ。そんなのがまあ普通。
しかしそんなことはおかまいなしに、dxはいつまでも
無限小量のままなんだよ。
無限小量に笑われてるんだよ。
337 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/23(木) 19:28:20
例えばﾍﾞｸﾄﾙ場 A に対して2-形式
A_1dydz + A_2dzdx + A_3dxdy
は”流れ”を表していて
その閉曲面 S での積分は S の表面から外に流れ出る”流れの総和”=fluxという解釈が
物理なんかで出てくるけど、これはどういう理由で妥当な解釈なの？
教科書なんかでこの妥当性を説明するときは決まって、唐突に、dxdyを「微小な〜と解釈して」と解説しはじめるけど
意味がわからない。写像なのに。
微分形式では上みたいな2-形式に対する積分は2変数のﾘｰﾏﾝ積分として定義するから
その定義自体には全く曖昧さは無いんだけど、上のように解釈する心がどうもわからない。。。
342 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/23(木) 23:39:26
>>341
あのさ
俺>>337じゃないけど、
＞唐突に、dxdyを「微小な〜と解釈して」と解説しはじめるけど
＞意味がわからない。写像なのに。
とdxdyが写像なのか微小変位なのかどっちなんだよ！って疑問に思っているわけで
物理がわからないとかそういうﾚﾍﾞﾙじゃないと思うんだけど
＞純粋に数学として理解して困ることはない。
いやー困るだろ
382 ：工房 ：2005/06/28(火) 07:38:11
微分は接線ですよと習う
微分はf'(x)と書きますよと習う
微分の計算を習う
微分はdy/dxとも書きますと習う
合成関数の微分公式はdy/dx=dy/du・du/dxですよと習う。
積分を習う
改めてdxの意味が不明になる←今ここ
390 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/28(火) 21:56:02
dx dy 等をバラバラにして使ってはいけない基準ってのを纏めてくれないかと思ったりする今日この頃。
大体のケースでは計算結果は一致するというのは、これをツールとして使いたいと思うとかなり嫌なんですけど・・・・
393 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/30(木) 06:03:07
でさ、zdx+xdy+ydzはなんなの？わかんね。
∫zdx+xdy+ydｚもなんなのさ？なんなのさったら
413 ：１３２人目の素数さん ：2005/06/30(木) 22:40:43
多変数の微分、たとえば全微分なんて、どう考えても接線ならぬ接平面の概念にあうように作られたとしか思えないね。
一変数の拡張で微分法の定義から接線という考えでは、まぁ考えられなくは無いけれど、普通の脳味噌だと行き詰るね。
414 ：413 ：2005/06/30(木) 22:42:34
という訳で接平面の概念から全微分の定義を作ったと思えます、はい。
470 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/01(金) 16:21:38
解析概論だって何ら説明せずに、いきなりdx出てくるのに？
どうやって勉強しろと…。
477 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/01(金) 21:22:21
>丁寧な先生でも「d」はdifferなので差を取れって意味ですくらいしか教えてくれないよ実際。
これがやばい気がするな、「差」って考えるのは混乱の元になる気がする。
自分は dx は数ではないという事を意識できるまでにやたら時間がかかったな、
数みたいに適当に変形してもそれっぽい答えが出る(事が良くある)もんだから、何時の間にやら誤解が深くなっていって余計混乱したんですよ。
実数とベクトルなどと同じでコンピュータ言語なんかで言うところの型が違うのだという事を意識できなくて随分苦労した。
これ
dz/dx = (dz/dy)・(dy/dx)
だってそうなんだよな、dxとかは関係なくて、スカラー = スカラー・スカラー に分解する公式であって、
もし dx dy といったものからスタートしたいなら別な考え方をしないといけないという事に気付けなかった。
481 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/02(土) 18:25:51
>>480
高校は「きわめて小さな」とか「〜に近づく」って表現が許される世界だからまあＯＫ。
問題は大学、それらの用語をεδで駆逐したはずのに、ずっといすわっているから
問題視されている。しかも、何ら説明なしにいきなりどんどん応用が始まる解析の
教科書…。
きちんとどの本の何ページのここに、このようにdxの定義が行われている…って書いて
欲しいんだけど…。
489 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/03(日) 00:28:15
てか大学の授業でいきなり抽象的な微分形式の定義から入ったら、そっちの
ほうが生徒がついてけない気もする。
506 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/03(日) 13:28:49
>>481
おれはいままでで、大学レベルの数学の本でも、微分方程式以外で
いきなりdxとか単独で出てくる本をみたことないけど。ちなみに修士卒。
物理の本ならがんがんでてくるけどね。
ところで、さんざん微分形式だっていわれてんだから、微分形式勉強してみたの？
おれは微分形式やって完全にふにおちたけど。
513 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/03(日) 16:08:56
>>506
微分形式の資料みたけど…。微分形式の式の定義 df=Σ∂f/∂x^i *dx^i （dfはfの全微分である）
なんて定義して、後は計算規則を延々書いているだけだろ。
本質はなんだ？直観で微少変位として捉えられるモノを単に理論化したものか？だとしてdfの厳密
な意味はなんだ？
537 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/03(日) 23:18:11
本が無くても、planet mathとかmathworldとかwikipediaとかあるだろ。
550 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/04(月) 06:12:18
微分形式って非常に代数的な道具だけど、解析学的には積分なんだよね。
全微分って微分形式っぽいけど実際には適当なパラメータで微分して
はじめて具体的な解析学の対象を描き出すんだよね。
1変数だとあんまり違いわかんないよね。曲線論や曲面論をちょっと
まじめに勉強してみるとおもしろいね。
微分のdy/dxと全微分や微分形式のdxとかdyって別に関係ないんだって
何で納得しようとしないのかなあ。ライプニッツの記号がたまたまいい
感じに関係式を記述するのに使えたってだけなんだよね。
552 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/04(月) 07:39:14
>>513
>微分形式の資料みたけど…。
微分形式の資料っていったいなんだ。
>微分形式の式の定義 df=Σ∂f/∂x^i *dx^i （dfはfの全微分である） なんて定義して
そんないーかげんなもの見てるから余計わからなくなるんだよ
ちゃんとした本読めよ。多様体の本にはたいてい載ってるよ。
つまり多様体までいかんと本質はわからんってことだよ
588 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/04(月) 22:15:55
>>583
良書かどうかは知らんけど俺が３回のときの微分幾何の教科書↓
松本幸夫、多様体の基礎、東京大学出版
良書となると微分幾何とか専攻してておなじような内容の本を２冊３冊と読んで
読み比べたりしてないかぎりわからん。この本が良書なのかどうかはしらないけど
微分形式の定義とか基本的な計算はこれでできるようになったつもりではいる。
706 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/07(木) 22:11:43
微分形式として理解しときゃ十分じゃないん？
よく超準解析とかなんとかでてくるけど、すげーマイナーな解釈な気がする。
うちの大学超準解析なんかやってるひといねーし授業はもちろんねーし。
うちの大学がDQNなんかもしれないけど他所の大学では当然のように開講してるの？
｢dxって何？｣って聞かれたら普通｢微分形式｣でいいんじゃねーの？
712 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/07(木) 23:03:16
Keislerだったら基礎論いらんような
斎藤もほとんど基礎論の知識は要らないはず
Robinsonならいるけど
713 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/08(金) 07:27:35
微分形式のほうが応用がききそう
超準解析は本をざっと見た程度だけど俺にはおもしろくなかった。
714 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/08(金) 08:45:24
根本がわからないまま、どんどん応用するわけね。
715 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/08(金) 12:39:37
>根本がわからないまま、どんどん応用するわけね。
だから接ベクトル場の双対だって。
なんか微分形式にトラウマでもあんの？
856 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/19(火) 01:28:15
わかんないな。積分の厳密な定義だってルべーグ積分。
微少量の厳密な定義なら超順解析。
今、ざっと頭の方読んだら、質問者は天下り的説明がなんか納得いかないらしい。
しかしな、数学だってとりあえず進んどくって言うのは、よくあるんじゃないかな。
論理式だって後から学ぶ訳だし。
もっと深刻な後ずけはたくさんあるしな。
887 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/20(水) 21:57:36
>>885
「微少な」とか「極めて近い」とかいうきわめて曖昧な用語をとりあえず「使わなくても良い」
ようにεδ論法を構築したはずなのに、ｄｘとかではずーーーーっと居座っているから…。
やはり最終的には超準解析に頼るのが本来の道なのか…。微分形式ってのは計算法の
規則をまとめて、バリバリ計算する学問分野みたいだしねぇ…。
890 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/20(水) 22:08:29
いやまあしかしルベーグ積分に到っても∫fdxと書いてるのは「居座り」と言われてもしょうがない気がする。
微分形式は微分形式でまた全く違う意味を持ってるけどね。
943 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/01(月) 02:39:03
置換積分のときは結果的に正しくなる
と思っといた方がいいかと
944 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/05(金) 21:42:58
>>943既出、かなり前の方にあった
945 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/05(金) 23:35:46
どんどん本質から遠ざかってるような気がするんだが。
952 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/07(日) 10:58:47
>>948,949
計算規則の本質は、計算結果を確かめて応用問題と適合してればＯＫ
ってなもんっしょ。適合させるべき問題ってのはｄｘを微少変値とみなして
作った数々の微積の公式とかね。
で、あおる奴は未だに煽っているけど…その肝心のｄｘってのが最初の
微少変値を離れた筈なのに、一体全体何を表しているのか疑問って事
だろね。過去ログにいくつか答えらしき物があって、納得できそうなもの
も多いんだけど…。
エライ数学のセンセーとかが著書できちんと言ってくれんもんかいな？
計算規則を提示して「定義」なんてやらんでさ。
954 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/08(月) 08:55:26
別にそれでいいよ。明確に書いている書籍がまずないから、書いてくれと
望んでいるだけ。
964 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/10(水) 02:53:35
数学ってのは先に行ったり戻ったりしながらしないと、なかなか理解できないのだがそれをしない人なんだろうなと思う。
進めなくなったら一度、教科書の最初の方を読み直して基礎を固めてから進めば上手くいくのですが、
今井とかみたいに、独自路線を考え始めたりすると、先の部分が分からなくなる。
分からないから、また独自路線でその上に積み上げてゆこうとする、その内にっちもさっちも行かなくなる。
という人なのではと思った。
そんな俺も実は、数年前今井の考え方にちょっと感化されてしまって地獄を見た人だったりする。
復帰するのに一年半掛かった。
小川とか見ていると、なんとなく今井の被害者のような気がする、なんとなく。
基礎理論の部分は全体像を把握しないと読めないのたが、それを先にしようとするからハマルということに気づけない。
そして本質君になる。
と思った。
966 ：１３２人目の素数さん ：2005/08/10(水) 07:42:54
>>962
ま、俺は教えてくんだろうなｗ
ただ、大学の図書館とかには行ける環境じゃないよ。専門書置いている書店もちと遠い。
いいわけって言えばいいわけだが、簡単にいける環境じゃないのも事実。
過去レス見て俺でも一応納得できる説明はあったように思う。ただ、俺のような思いをする
人が多いと嫌だから、誰かが書籍にきちんとまとめてくれればと書いただけ。
■ｄｘやｄｙって何？−（２）
486 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/05(月) 16:46:59
微分は差分の極限ということでいいじゃないの？
ｄｘはｘの差分の極限、ｄ^n f(x)は、f(x)のｎ次の差分の
極限。もちろん、ｘが一様に変化しない場合は、当然
d^2ｘ、d^3ｘを考えなければいけないけど。
487 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/05(月) 17:10:20
dy/dxは一体だって？ そんなもの教師が生徒に
つっこまれないようにするための象牙の塔だよ。
ｄｙ、ｄｘも別々に考えていいんだ。もっと
自由に考えなよ。数学なんだから。
493 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/05(月) 19:37:10
>>486
>>487
ムチャクチャ言うな
512 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/06(火) 21:59:13
>>511
そりゃまあ
df = f'(x) dx
なら
冉 ≒ f'(x) 凅
として機能するから重要だが、逆にこれを使って微分を説明するとなると、凾ﾆdの混乱、混同が起こって問題だろ。
ここで凅とdxそして冉とdfの図解説明が重要になる。
513 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/06(火) 22:13:27
>>511
むしろコンピュータを使う人たちの方がdfと冉の使い方を理解できてないと、精度に問題が出たときに対処できなくなると思う。
514 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/06(火) 22:25:58
>>513
精度以前の問題として、差分的な考え方がわかって
いないと、そもそも式も立てられないということ。
上に出てくる微分形式の考え方では明らか。
例えば、2回以上の微分なんかが出てくる時を考えてみなよ。
515 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/06(火) 22:28:15
こんぷーた使う人にとっては差分の式の組み立ては当たり前だからさ・・・・
517 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/07(水) 15:33:43
>>486が、微分は差分「みたいなもの」、差分「っぽいもの」といった
言葉遣いをしたなら誰もこんなに噛み付かないよ
＞微分は差分の極限ということでいいじゃないの？
＞ｄｘはｘの差分の極限、ｄ^n f(x)は、f(x)のｎ次の差分の
＞極限。
を読むと、うまく定式化しきれないから「の極限」という言葉を
誤魔化しのために使っているように見える
だから>>486はどういう意味で「〜の極限」という言葉を使っているのか、
自分でも答えられないだろ？
別にそういう理解をしてはいけないとも、こういう理解が不必要だとも言わないが、
こういう意味のよくわからない言葉を使って、正確な理解をしているように
見せかける態度は、少なくとも数学的には問題かと、、
520 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/07(水) 21:14:40
極限は重要な概念だからごまかしは絶対禁止だよな、極限の順序の入れ替えはかなりデリケート問題だし。
d^2fについても高木本の1階の微分の図を見ながらそのまま同じ要領で適用してみれば分りにくい物なんて無いと思うのだが・・・
というかむしろ何故直感的な理解ができないかと不思議に思う。
522 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/07(水) 22:45:16
解析概論式のいい所は大胆な発想ができるところだと思うな
逆関数の微分法は y=x 軸で反転することになるし、合成関数の微分法と積分の変数変換はただの拡大率調整だし・・・
と、ただの線型代数の問題になって、証明？自明だろってな感じがいい。
さらに陰関数になってくると威力は絶大だね。
多変数関数の条件付最大値・最小値とか、無限小とかだと未来永劫理解不能な気がする。
523 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/08(木) 12:30:11
>>520
解析概論のどこのこといってんだ？
ところで、久しぶりに解析概論をぱらぱら見てみたんだが、
ｎ階差分Δ^nについてちゃんと書いてあるね。p63辺り。
取り扱いは、付記という感じだったけど。ちなみに、Δ^nとｄ^nの
関連性については特に論じていない。
まあ、解析概論を読んだ人は、微分方程式をコンピューター
で解くことはできそうだｗ
527 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/08(木) 14:58:20
流れが見えれば俺としてはＯＫ。
つまり、無限小ってのをここで利用するが、それは超準解析ってトコできちんと論理づけ
られている。超準解析はきわめて難解なので内容は深く追求はしない。興味があったら
調べてみてくれ。
ってな具合に率直に言ってもらったら、万事おーけー。
530 ：FA ：2005/09/08(木) 16:09:38
無限小ってのをdxの定義で利用するが、それは超準解析ってトコできちんと論理づけ
られている。超準解析はきわめて難解なので内容は深く追求はしない。興味があったら
調べてみてくれ。
531 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/08(木) 16:21:45
がんばってるな。超準解析なんか全然しらんくせに。
549 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/09(金) 13:45:54
ｄとΔの間で混乱している椰子というのは、無限に
対する基礎体力が足りないんじゃないかな。ここでいう
無限とは無限大と無限小のこと。こういう状況で微積を
やると、表面的なところにとらわれて変に誤解するかも。
無限に対する素養を養うには高瀬が訳しているオイラーの本が
いいと思うよ。微積を使わなくてもいろいろなことができることが
わかるはずだ。
ちなみは俺はSpringerの英訳を読んだが。。。
559 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/10(土) 00:07:23
>>549
無限の基礎力なんてそう簡単には付けられないって、
集合論を勉強してやっとなんとなく分かってきたといったところ。
その集合論もかなり難しい、∀や∃なんて普通に勉強していたら、無限個の∧や∨と区別できねぇよ。
ともなって∪や∩の無限個の集合に対する演算も理解不可能、そうすると測度論壊滅となる。
めちゃくちゃ難しい。
対角線論法なんて理解できないって。
563 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/10(土) 00:21:47
無限の難しさはいとも簡単に常識を超えてくるところだと思う。
直感的解釈が追いつかなくなるのに理解できると言うのは、才能というか、ある種脳みその故障じゃないかと思ったよ。
常人にできる解釈は記号いじりをして問題なしって喜ぶだけだと思った。
564 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/10(土) 00:27:44
ところで、超準解析ってのは凾→０のときの凾／凾の存在
を保証するためにあるんだろ。ｄｘの意味とは関係ないよな？
565 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/10(土) 00:34:11
>>564
実数の拡張をするんだよ、コーシー列に対して同値類を上手く作って無限小の概念を作り出す。
すると有限の差分に化ける、なのでそういう意味での極限は使わない
と理解しているが、まだよーわからん。
勉強中
566 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/10(土) 08:46:27
現在の数学者も迷える子羊。どんな数学の本を読んでも答えは書いてありません。
574 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 17:50:21
とりあえず初心者向きの理解は df = f'(x) dx が一番
詳しくは石村園子の本すぐわかるシリーズをみる事、非常に分かりやすい図解説明あり。
そこそこ数学に自信があるなら解析概論から各種小難しい本へ進めばよろし
575 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 17:54:05
その石村本にはｄｘが何であるかについて明言されてるの？
576 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 17:55:11
>>575
されていないが直感的に分かる解説になっている、記号いじりしたければ難しい本でも読め
577 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 18:59:45
>>565
別にコーシー列に対してじゃなくてもいいよ
というかKeisler読むとlimの記号がそのままstに化けただけって感じがする
論理的には楽になるけどね
勉強中
578 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 21:03:49
超準解析なんかｄｘの意味と全然関係ないしやるだけ無駄だよ。
582 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/10(土) 23:24:21
ｄｘやｄｙが何んであるかを定義することから微積分が始まります。
それが何とこの始まりの部分が数学にないのです。と言うことは・・・？？？
598 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 05:53:56
解析概論にはｄｘが何だと書いてあるの？ 無限小？
602 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 06:59:07
>>598
dx=凅
dy=f'(x)凅
といった感じで定義されています、無限小ではありません。
しかし前後を読まなければ意味は分らないでしょう、買って読んでください。
603 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 08:26:59
>>602 あれは書いた当人が理解できておらん。
606 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 08:57:06
どこの何様を連れてきてもｄｘの定義は決して書けません。定義をするのに使われる「数」が
ありません。先ず、これを作って置く必要があります。要するに、大学教授が書いた本を読ん
でも全然駄目なんです。
609 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 13:47:13
>>602
ありがとう。
でもその定義は非常にまずいと思うな。
やっぱり解析概論じゃダメみたいだね。
612 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 14:16:32
>>610
本来まったく別のものを一緒にしちゃってるところがマズイ。
dx=凅
641 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 19:19:01
ｄｘ = f'(x) 凅
どっからこんな等式が出るんだよ？
笑わせようってのか？
644 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 19:23:43
>>641
解析概論…
645 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 19:25:16
解析概論恐るべしｗ
646 ：名無しさん＠そうだ選挙に行こう ：2005/09/11(日) 19:29:45
解析概論は廃棄処分
929 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/16(金) 18:07:09
そもそも今井実数体系では現代数学においての基本原理である
“等号原理”が成立してない。つまりA=Bであってもf(A)=f(B)がすべての
関数記号について成立してるわけじゃない。だから
＞２ｙｙ'＝−１
であっても
＞ｙ'＝−１/２ｙ 但し、ｙ≠０
はただちにはいえない。両辺を2yで割るっても等号が保存されることは自明ではない。
現代数学は等号原理がつねに成立するように構成してるので両辺に等しい変形を
することは確認なしに保証されるように構成されているけど今井数学では
そのようには構成されていないのでいちいちチェックする必要がある。
割り算については成立する“かも”しれないが、そもそもそんなことを
いちいち確認しなきゃいかんような体系はつかいもんにならん。
■ｄｘやｄｙって何？−（３）
193 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 00:51:59
小平解析にはこう説明がある。
dy/dx=lim[Δx→0] Δy/Δx の分母dx, 分子dyはそれぞれ
’無限に小さくなった’増分Δx、Δyを示唆するのであろうが、
上記の定義ではdx, dyに意味はない。
で、上記の定義ではy=f(x) とおいたとき、f'(x)をdy/dxで表す。
dy/dxを微分商ということもある、とある。
これでだめなの？
197 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 00:57:18
小平にはがっかりさせられたよ。
205 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 01:08:55
dx/dy=f(x)とあったときに
dx/f(x)=dyと変形して、両辺の積分∫をとり
∫dx/f(x)=∫dy＝y
とする課程は、どう解釈すればいいのでしょう？
212 ：１３２人目の素数さん：2005/10/19(水) 23:32:50
結局このテーマって２ｃｈにピッタリなんだろうな。dxとかdyとかって高校の教科書レベル
から登場するのに、正確な定義は数学科の３回生ぐらいにならないと教わらない。
数学科以外の学科だとヘタすると物理学科なんかでも知らない香具師いても不思議じゃ
ないし、数学科の卒業生でも全員が理解できてるわけじゃない。２ｃｈの数学板の知識のレベルの
平均って数学科の学部の２、３回ぐらいだろうからこの手のテーマはもりあがるんだろうな。
286 ：１３２人目の素数さん：2005/10/23(日) 01:22:50
>>285
ｄｘが定数ではなく、オイラーは何かしらのある定数といっているので、
常にfixedというのではなく、ある時点でｄｘを考えるならその時点で
ある定数：fixedという事なんでしょう。定数、定数と皆さんは言って
いますが、オイラーは ある定数 といっているので同じ意味ではない
と思うけど・・。(dx)^2≠ddxでしょう？オイラーの計算では、頻繁に
ddx=0として計算を進めているんです。
289 ：１３２人目の素数さん：2005/10/23(日) 02:11:42
確かにオイラーはその時代そうしたのかもしれないが、
それでは ｄ とか ｄｘ の意味は永久に分からないよ。
もしかして、ｄｘ と 凾 を混同してるんじゃない？
290 ：１３２人目の素数さん：2005/10/23(日) 02:21:55
でもｄｄｘ＝０、というんでいいのなら、ｄｘと凾との区別をする必要はないような。。。
294 ：１３２人目の素数さん：2005/10/23(日) 03:57:03
dxは無限小量です。オイラーはときどき「dxはコンスタントとすると」
という仮定をおいて計算する。dxは無限小量で、しかもコンスタントと
仮定する。だから、dxは無限小の定量です。
よくわからないでしょう。
299 ：１３２人目の素数さん：2005/10/23(日) 13:19:07
ｘ＝変数、ｄｘ＝ある定数、ｄｄｘ＝ｄ（ある定数）＝０としてオイラーは
微分の計算をしています。これは現代でも通用します。表面的には。ｄｄｘ
＝０と考える事で同じ結果になります。
371 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 23:21:02
つうかδとかΔとか書いてる香具師の脳内の教科書にしかでてこないんじゃないの？
普通の数学科のすくなくとも学部で一般的に提供されてる範囲内ではでてこない話。
オレ様定義じゃね？
372 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 23:40:02
それが、物理の教科書には普通に出てくるんですよ。
ラグランジアンから運動方程式を導く式変形のところ。
373 ：１３２人目の素数さん：2005/10/26(水) 23:55:49
そんなもん現代数学のちゃんとした流儀に基づく方法を理解してないDQN物理学者の
書いた教科書だろ？物理にでてくるほとんどの議論は数学的にキチンと定式化されてて
“無限小”だのなんだのとかいういかがわしい議論ぬきに議論できる。初学者の理解を
たすけるために与太話載せてることもあるかもしれないけどそんなもん無視していいだろ？
374 ：１３２人目の素数さん：2005/10/27(木) 00:03:30
>>372
オイラーラグランジュ方程式を導き出す仮定にでてくるδfはべつに無限小じゃないよ？
δfで一まとめの関数。δfをまとめてgとかに置き換えても議論できるハズ。
変な書き方してることもあるかもしれないけど、たとえばδ(f’)とか、そういうのは
でてこないように変形できるハズ。
379 ：１３２人目の素数さん：2005/10/27(木) 01:00:33
>>377
一語一句おぼえるのは無理でも自分でみちびけるようになるまで何回も何回もよむもんだべ。
教科書は。で、そのあと忘れる。自分でみちびけるようになった能力だけのこして。ってのがオレ流勉強法。
勉強法はさておき教科書みつかった。
大貫善郎、解析力学、岩波出版
>>376で書いたはなしはこの本のp99前後に書いてあるようだ。
ただし、この本では堂々と“δqは無限小”ってかいてあるw。(p60ぐらい)
でオイラは無限小ってなんじゃ？とおもいつつ任意の十分小さい関数という意味に
解釈してよみすすめていって無問題という結論に達した。
物理の人の書く教科書はこっちで適当に翻訳してやらんとよめん。
ただしこの“翻訳”の方法が物理数学を専攻してるような人の主流の“翻訳”といえるかどうかはわかんね。
380 ：１３２人目の素数さん：2005/10/27(木) 01:28:45
>>379
レスありがとう。
どうやら、本によって「無限小」の定義が違ってるようですね。
Ryder による場の量子論の教科書には δ（∂Φ）＝∂δΦ の式が
ほとんどいきなり仮定されています（ｐ84、Φ は場の関数）。
普段は、こういう細かいところはどんどん読み飛ばしています。
401 ：１３２人目の素数さん：2005/10/28(金) 22:29:51
>>384
どういう条件のとき(ｄｘ)＝ｄ(凾)が成り立つとか、
そういう研究があってもいいはずなんだが･･･
539 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 23:09:28
>>538
>君はｄｘ、ｄｙをどういうものと理解してるの？
それがうまく表現できないからこそこのスレが３スレ目まで存在するのだと思います。
自分の問題意識を整理してみると，こんな感じです。
(1)初めに高校数学で「dy/dx」という記号を習うときは，
・平均変化率Δy/Δxの極限
・「dy/dx」という記号はひとかたまりなので，dyとdxに切ってはいけない
と習います。
しかし，記号本来の由来としては，「無限小の変化量」みたいなニュアンスがあるはずだと感じます。
(2)置換積分や変数分離形微分方程式で，dy=cosx dx のような記法を「形式的な書き方」として習います。
これはあくまで計算用紙に書くための「覚え方」として学ぶわけですが，その割には，
・xがdxだけ変化するときにyがcosxdxだけ変化する
・dy=cosxdx を無限に足し合わせる（積分する）と y=sinx になる
というのが「微小変化量としての『意味』が通っている」ので，
それが数学的実体としては定義されないものの，
「やっぱり dx，dy は『微小変化量』なのだ」という意識を持ちます。
(3)曲線の長さの公式（あるいは定義）で，
√{(dx)^2+(dy)^2} = √{1+(dy/dx)^2} dx = √{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2} dt
なんてのも，「dx,dy は『微小変化量』なのだ」という意識を補強することになります。
このように，dx,dyが「微小変化量」であるという「状況証拠」はたくさん揃っているわけですが，
しかし，その実体が数学的に定義されないことにもどかしさを感じます。
540 ：１３２人目の素数さん：2008/09/18(木) 23:11:39
(4)一方，微分形式を学ぶと，単独のdx,dyが余接空間の基底，あるいは座標関数の外微分として定義されます。
y=sinx ⇒ dy=cosx dx のような変形は，微分形式で理解できます。
確かにこれで「dx,dyの演算規則」は数学的根拠のあるものとして理解できるわけですが，
そこには「微小変化量」というニュアンスが失われており，
高校時代に直観的に理解していたdx,dyの意味合いとの齟齬が生じて，違和感を感じるわけです。
「微分形式を学んだらdx,dyの本質が理解できた！」とは感じず，
「微分形式は，『微小変化量』としてのdx,dyの中から，演算規則部分を抽出して形式化したもの」と感じるわけです。
つまり，「微小変化量としてのdx,dy」を数学的実体として理解できないからこそ，気持ち悪さを感じるのです。
同じように感じる人が多いからこそ，このスレが３スレ目まで残っているのではないでしょうか。
誰もが微分形式で納得すれば，こんなスレは不要です。
超準解析は知らないのですが，超準解析だと「微小変化量」としてdx,dyが理解できるのでしょうかね？
542 ：１３２人目の素数さん：2008/09/19(金) 00:12:18
>>540
ずいぶん詳しい説明をしてくれましたね。勉強になります。
自分には文才もなく長い文章は書けませんが、結局のところは
(4)にある「微分形式は，『微小変化量』としてのdx,dyの中から，
演算規則部分を抽出して形式化したもの」につきると思います。
『微小変化量』というのは、過去において単に便宜的に考えられ
ていたもので、本来そんなものはどこにもないとも考えられます。
恐らくは、(1)のΔy/Δxの極限というところから直感的にとらえ
られたものだったのでしょう。ひとつの見方なのだと思います。
例えば、デルタ関数などにもいろんな解釈の仕方があるそうです。
微分形式以外に超準解析によるのも一つのやり方なのでしょう。
544 ：１３２人目の素数さん：2008/09/21(日) 16:45:39
>>539-540,542-543 あたりを「0.999…」スレと同じようにテンプレにすべき。
そうしないと延々同じような論議が続く不毛のスレになる。
といいつつ、まだ何か引っかかるんだよなあ。
解析概論のdxの定義は、 「 dx=凅」なんだよな。
545 ：１３２人目の素数さん：2008/10/06(月) 19:32:25
ただ、ゲージ理論や解析力学なんかへの応用を考えると、
やっぱりｄｘやｄｙは微分形式と考えるのが自然ですね。
そういう理由もあって、どうも無限小解析というのは
あまりはやらないような気がしますが、どうなんでしょう。
あとわかりやすいのは、ｄｘやｄｙを接空間上の座標関数
とみなすやり方ですね。この辺は好みの問題でしょうか。
546 ：１３２人目の素数さん：2008/10/06(月) 22:39:47
>>545
で、その「微分形式」って何なんだ？
微分形式の教科書を読んでも、最初は例のごとく天下り式に微小変化量として捉えた性質を定義に持ってきて、
形式的に計算方法を延々学習するのみだろ？
したがって、>>540の理解で良いのでは？
547 ：１３２人目の素数さん：2008/10/09(木) 12:55:14
上にも書いたように、答えの一つは接空間の座標です。
接線の方程式にｄｘ、ｄｙが微分係数の中にあらわれる
のはそのためです。凾を０へもってゆくと、凾/凾
はｄｘ/ｄｙにだんだん近づきますが、ｄｘと凾は
別物であり、ｄｘが０に近いというわけではないです。
548 ：１３２人目の素数さん：2008/10/09(木) 20:41:28
なるほどね。
ところで、名著とされる解析概論で ｄｘ＝凾 と明記しているのはなぜ？
549 ：１３２人目の素数さん：2008/10/13(月) 15:18:16
たぶんあまり深く考えてないからじゃないかな。
凾は物理で言うところのいわゆる変分とみなせて、
凾が０に近いとき凾/凾凵烽р/ｄｙなのであって
決してｄｘ＝凾というわけではないと思いたい。
無限小などというものを持ち込んだがために、
かえって混乱が生じているような気がしないでもない。
553 ：１３２人目の素数さん：2008/10/18(土) 10:55:02
>>552
三村征雄さんの「微分積分学１」(岩波全書)では、
まず、h→0のときの(f(x+h)-f(x))/hの極限として微分係数f'(x)を定義し、
次に「任意の」hに対しdf(x)=f'(x)hをxにおけるfの微分と定義しています。
そして、f(x)=xの場合、df(x)=dx、また微分の定義からdf(x)=1h=h、
したがってdx=h、を導いています。
解析概論のΔxは上のhと同じもので、微分係数を定義するときには
Δx→0ですが、微分を定義するときには「任意の実数」と読みなさい
ということだと思います。
なお、上の議論からはdxは微小量というニュアンスは伝わってきませんが、
これはε-δ論法のεと同じだと思えば良いのではないでしょうか。
ε-δ論法では「任意の」ε>0に対してどうのこうのと書きますが、
気持ちは「どんなに小さな」ε>0に対してもということなのですから。
554 ：１３２人目の素数さん：2008/10/18(土) 12:27:04
微分形式で終了
555 ：１３２人目の素数さん：2008/10/18(土) 13:05:29
>>554
矮小化の極みだな。
微分形式はあれあれで立派だが、それを理解したところで
ｄｘ、ｄｙに関する様々な疑問に答えられるわけではないだろうに。
559 ：１３２人目の素数さん：2008/10/27(月) 19:30:47
関数y=f(x)のグラフ上の点(a,b)における接線の方程式は、
y-b=f'(a)(x-a)です。
点(a,b)を原点、x軸方向にX軸、y軸方向にY軸をとります。
X-Y座標系では、接線の方程式は、Y=f'(a)Xです。
座標を表現する記号(文字)は何でも良いので、Xの替わりにdx、
Yの替わりにdyとすると、
接線の方程式は、dy=f'(a)dxとなります。
dxとdyは座標ですから、大きな値でも構いません。
...という説明が、微積分の教科書によく見られます。
その通りなのですが、dx-dyは接線のための座標系であり、
接線はグラフ上の各点毎に考えるものなので、あまり大きな
dxとdyを考えても意味がなく、
曲線の一部をその接線で近似できる程度に小さい範囲で考える
のが素直だと思いますが、如何でしょうか。
579 ：天空王ムスカ：2008/11/14(金) 15:32:43
Δxが無限小のとき Δy/Δx = dy/dx になるだけ
の話で、Δxとdxが等しいわけではないのじゃよ。
そのあたりの混同が混乱の源になっとるんじゃよ。
619 ：１３２人目の素数さん：2008/12/07(日) 21:52:02
とりあえず
「線素」dsってやつ、あれは微分形式で理解できるの？
曲線の接ベクトル（接空間上に存在）の長さを接バンドル上で追いかける関数？
663 ：１３２人目の素数さん：2008/12/19(金) 13:31:09
ある意味"自然"でなぜか"うまくいく"方法は,
必ず正当化できるという信念のもと、
その方法を柔軟な思考で探るのが
数学的態度ではないだろうか.
虚数しかり非ユークリッド幾何学しかり集合論しかり
演算子法しかり超関数しかりファインマン積分しかり?
"教科書"で習ったことだけを信奉する香具師は
探求レベルの数学をするのに必要な思考の柔軟さを
持っていない. その時代の考え方に洗脳されすぎている.
論理的に非の打ち所はないが矮小な世界で
自己完結することに満足している平凡な
"数学ユーザー"が(特にこんな場所では)
大多数であるのはむしろ当然だが.
数学"教育"がうまくいっている証ともいえる.
しかしたとえば『dxとdyの解析学』を読めば,
オイラーの理解方法に比べて,
集合と写像による"数学的自然"の捉え方が
ときに非常に不自然なのがわかる
(ひとつの曲線をむりやり2つに分解しなければ
求められないなど).
※"数学的自然"の存在と, その捉え方がひとつでないことは
佐藤幹夫先生も強調しておられた(『佐藤幹夫の数学』参照).
674 ：１３２人目の素数さん：2008/12/23(火) 00:04:18
Δx->0の意味でのdxの理解も大事だとは思うけど、微分形式としてのdxの理解
が、下に見られている意味がわからない。
前者のΔx->0の意味でのdxは、もう単なる記号でしかないと自分は思ってる。
これ以上深入りする必要もないと思う。
逆に、後者の理解の仕方に興味を持って、微分形式を勉強していき、
空間とその上の微分形式の関連を勉強していった方が良くない？
その方が、次に繋がるじゃん。
683 ：１３２人目の素数さん：2008/12/26(金) 10:59:21
>>679
「今ある分野」の中だけで考えている限りそうだろうさ。
しかし「当面必要」かどうかよりも、まず「自然」かどうかでしょ。
>>663でも触れているが、無限小（というかオイラー流の解析）を使わないと
解き方が不自然になる初等的問題がいくつもある。
虚数だって非ユークリッド幾何だって最初は「必要ない」と思ってた人が大部分だったはず。
>>674
普通の数学者が普通の人生をめざすならそうだと思う。
ただし微分形式では説明できないがオイラーの方法を使うのが
最も自然と考えられる問題がかなりあることは認識してほしい。
701 ：１３２人目の素数さん：2009/01/07(水) 21:07:31
ふと思ったんだが、ｄｘとかｄｙとかを単独で考えるときはｄｘ＝０,ｄｙ＝０でいいんじゃね？
ひとつの等式に２つ以上ｄなんとかがあったり∫があって初めてそれ以上の意味を持つってことで。
702 ：１３２人目の素数さん：2009/01/07(水) 22:13:21
>>701
却下
706 ：１３２人目の素数さん：2009/01/08(木) 18:14:16
>>701
禿同
全微分方程式の全微分の形に合わせる解法で
dz＝0と考えたら、微少変化量＝任意定数 って厨房の俺でも理解できるようになる
721 ：１３２人目の素数さん：2009/01/12(月) 17:29:56
微分形式のｄｘと微積に出てくるあのオイラー流ｄｘ。
ｄｘの捉え方はそれぞれ全然違うよ。ちゃんと区別しようね。
725 ：１３２人目の素数さん：2009/01/13(火) 21:37:49
微積でのｄｘ：小さな増分
微分形式でのｄｘ：小さなベクトルに作用するもの
それだけのこと
762 ：１３２人目の素数さん：2009/02/06(金) 07:35:19
おれは数学科卒じゃないけど
これは結構引っかかった、というか今でもわからん。
ニュートンは元々こういう表記使ってなかったはずだよね。
俺の解釈は、dxとかdyという記法は、代数的な処理をできるように考案したものだと思うんだけど
うまくそれによってどういう代数的処理ができるようになるのか、はっきりわからない。
ベクトルの内積とかは、ベクトルの計算に乗算を導入するための定義だとわかるんだけど
微積分は、終局的に純粋な代数に還元できない印象を受けるから
そこが曖昧に感じるんだな。limitの定義が素朴だけど一番明快だもん。
